486. 预测赢家

定义二维数组 ( extit{dp})，其行数和列数都等于数组的长度，$ extit{dp}[i][j] $表示当数组剩下的部分为下标 (i) 到下标 (j) 时，即在下标范围 ([i, j]) 中，当前玩家与另一个玩家的分数之差的最大值，注意当前玩家不一定是先手。

只有当 (i le j) 时，数组剩下的部分才有意义，因此当 (i>j) 时，( extit{dp}[i][j]=0)。

当 (i=j) 时，只剩一个数字，当前玩家只能拿取这个数字，因此对于所有 (0 le i < extit{nums}. ext{length})，都有 ( extit{dp}[i][i]= extit{nums}[i])。

当 (i<j) 时，当前玩家可以选择 ( extit{nums}[i]) 或 ( extit{nums}[j])，然后轮到另一个玩家在数组剩下的部分选取数字。在两种方案中，当前玩家会选择最优的方案，使得自己的分数最大化。因此可以得到如下状态转移方程：

[ extit{dp}[i][j]=max( extit{nums}[i] - extit{dp}[i + 1][j], extit{nums}[j] - extit{dp}[i][j - 1]) ]

最后判断 ( extit{dp}[0][ extit{nums}. ext{length}-1]) 的值，如果大于或等于 (0)，则先手得分大于或等于后手得分，因此先手成为赢家，否则后手成为赢家。

class Solution {
public:
    bool PredictTheWinner(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<vector<int>> f(n + 1, vector<int>(n));

        for(int i = n - 1; i >= 0; i--)
            for(int j = i; j < n; j++)
                if(i == j) f[i][j] = nums[i];
                else f[i][j] = max(nums[i] - f[i + 1][j], nums[j] - f[i][j - 1]);
        
        return f[0][n - 1] >= 0;
    }
};