费马小定理与欧拉定理

费马小定理
如果(p)是质数，则对于任意整数(a)都有(a^pequiv a(mod p))。这个定理称作费马小定理。
其中，(gcd(a,p)=1)的情况更常见：
若(p)为质数，并且(gcd(a,p)=1)，那么就有：

[a^{p-1}equiv 1(mod p) ]

证明：
设集合(A={ 1,2, cdots ,p-1})，集合(B={ a\% p,2a\% p,cdots,(p-1)a\% p})
下面证明集合(A)和集合(B)等价
由于集合(A)和集合(B)中的元素个数相同，所有元素都小于(p)并且不为零，所以只要证明集合(B)中的元素两两不同就可以了
对于集合(B)中的任意两个元素(k_1a,k_2a)，假设(k_1>k_2)
那么证明集合(B)中的元素两两不同，等价于证明((k_1a-k_2a) otequiv 0(mod p))
也就是(p mid (k_1-k_2)a)
由于(a)和(p)互质，所以只要证明(p mid (k_1-k_2))
由于(k_1,k_2<p)并且(k_1>k_2)，所以((k_1-k_2)<p)
由于(p)是质数，所以有：
(p mid (k_1-k_2))
所以集合(A)和集合(B)等价
也就有：
(1*2*cdots *(p-1)equiv a\% p*2a\% p*cdots *(p-1)a\% p(mod p))
即为：
((p-1)!equiv (p-1)!*a^{p-1}(mod p))
由于((p-1)!)与(p)互质，所以有：
(a^{p-1}equiv 1(mod p))
欧拉定理
(forall a,m)，若(gcd(a,m)=1)，则有：

[a^{varphi(m)}equiv 1(mod m) ]

欧拉定理的证明方法与费马小定理类似
证明：
设集合(A={ x|gcd(x,m)=1})，集合(B={ ax\% m|gcd(x,m)=1})
下面证明集合(A)和集合(B)等价，也就是证明集合(B)中的元素两两不同
对于集合(B)中的任意两个元素(ak_1,ak_2)，假设(k_1>k_2)
那么证明集合(B)中的元素两两不同，等价于证明((ak_1-ak_2) otequiv 0(mod m))
也就是(m mid a(k_1-k_2))
由于(a)和(p)互质，所以只要证明(m mid (k_1-k_2))
由于(k_1,k_2<m)并且(k_1>k_2)，所以((k_1-k_2)<m)
由于(p)是质数，所以有：
(m mid (k_1-k_2))
所以集合(A)和集合(B)等价
也就有：
(x_1*x_2*cdots *x_{varphi (m)}equiv ax_1*ax_2*cdots *ax_{varphi (m)}(mod m))
即为：
(x_1*x_2*cdots *x_{varphi (m)}equiv x_1*x_2*cdots *x_{varphi (m)}*a^{varphi (m)}(mod m))
由于(x_1,x_2,cdots ,x_{varphi (m)})与(m)互质，所以有：
(a^{varphi (m)}equiv 1(mod m))