数独

求解数独问题的基本方法是在(dfs)的过程中剪枝，下面这几种方法的剪枝强度递增
朴素方法
通过数组记录每行、每列、每个九宫格中已经填过的数字，从左上角的空格开始(dfs)，填入所在行、列和九宫格中都没有出现过的数字
相关题目：hdu1426 Sudoku Killer

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<cstring>
#include<string>
#include<sstream>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define PII pair<int,int>
#define PLL pair<LL,LL>
#define pi acos(-1.0)
#define eps 1e-6
#define lowbit(x) x&(-x)
using namespace std;

const int N=9;
int R[N+5][N+5],C[N+5][N+5],S[N][N][N+5];
int b[N+5][N+5];
char a[N];

bool dfs(int x,int y){
    if(y==N){
        y=0;
        x++;
    }
    if(x==N) return true;
    if(b[x][y]){
        if(dfs(x,y+1)) return true;
    }
    else{
        for(int num=1;num<=N;num++){
            if(!R[x][num] && !C[y][num] && !S[x/3][y/3][num]){
                R[x][num]=1;
                C[y][num]=1;
                S[x/3][y/3][num]=1;
                b[x][y]=num;
                if(dfs(x,y+1)) return true;
                b[x][y]=0;
                R[x][num]=0;
                C[y][num]=0;
                S[x/3][y/3][num]=0;
            }
        }
    }
    return false;
}

int main(void){
    bool first=true;
    while(scanf("%s",a)!=EOF){
        memset(R,0,sizeof(R));
        memset(C,0,sizeof(C));
        memset(S,0,sizeof(S));
        if(a[0]=='?') b[0][0]=0;
        else{
            b[0][0]=a[0]-'0';
            R[0][b[0][0]]=1;
            C[0][b[0][0]]=1;
            S[0][0][b[0][0]]=1;
        }
        for(int i=0;i<N;i++){
            for(int j=0;j<N;j++){
                if(i==0 && j==0) continue;
                scanf("%s",a);
                if(a[0]=='?'){
                    b[i][j]=0;
                }
                else{
                    b[i][j]=a[0]-'0';
                    R[i][b[i][j]]=1;
                    C[j][b[i][j]]=1;
                    S[i/3][j/3][b[i][j]]=1;
                }
            }
        }
        if(dfs(0,0)){
            if(first) first=false;
            else printf("
");
            for(int i=0;i<N;i++){
                printf("%d",b[i][0]);
                for(int j=1;j<N;j++){
                    printf(" %d",b[i][j]);
                }
                printf("
");
            }
        }
    }
    return 0;
}

二进制压缩优化
1.通过二进制压缩记录出现过的数字，数位上为(1)表示这个数字还没有使用过，通过(lowbit)操作得到二进制表示的状态下所有可填的数字
2.每次(dfs)时遍历所有格子，选择候选数字数目最小的空格（二进制中(1)的个数最少）填数字
相关题目：hdu3111 Sudoku

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<cstring>
#include<string>
#include<sstream>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define PII pair<int,int>
#define PLL pair<LL,LL>
#define pi acos(-1.0)
#define eps 1e-6
#define lowbit(x) x&(-x)
using namespace std;

const int N=9,maxx=1<<N;
int T,R[15],C[15],S[5][5];
int ones[maxx+10],number[maxx+10];
char a[N+5][N+5],b[N];

void init(){
    for(int i=0;i<maxx;i++){
        int s=0;
        for(int j=i;j;j-=lowbit(j)){
            s++;
        }
        ones[i]=s;
    }
    for(int i=0;i<N;i++) number[1<<i]=i;
}

void init2(){
    for(int i=0;i<N;i++){
        R[i]=C[i]=maxx-1;
        for(int j=0;j<N;j++){
            S[i/3][j/3]=maxx-1;
        }
    }
}

int sum(int x,int y){
    return R[x]&C[y]&S[x/3][y/3];
}

bool dfs(int rest){
    if(rest==0) return true;
    int x,y,mini=10;
    for(int i=0;i<N;i++){
        for(int j=0;j<N;j++){
            if(a[i][j]=='?'){
                int t=ones[sum(i,j)];
                if(mini>t){
                    x=i;
                    y=j;
                    mini=t;
                }
            }
        }
    }
    int X=sum(x,y);
    for(int i=X;i;i-=lowbit(i)){
        R[x]-=lowbit(i);
        C[y]-=lowbit(i);
        S[x/3][y/3]-=lowbit(i);
        a[x][y]='1'+number[lowbit(i)];
        if(dfs(rest-1)) return true;
        a[x][y]='?';
        R[x]+=lowbit(i);
        C[y]+=lowbit(i);
        S[x/3][y/3]+=lowbit(i);
    }
    return false;
}

int main(void){
    init();
    scanf("%d",&T);
    for(int cas=1;cas<=T;cas++){
        if(cas!=1) scanf("%s",b);
        int cnt=0;
        init2();
        for(int i=0;i<N;i++){
            scanf("%s",a[i]);
            for(int j=0;j<N;j++){
                if(a[i][j]=='?'){
                    cnt++;
                }
                else{
                    int bit=a[i][j]-'1';
                    R[i]-=1<<bit;
                    C[j]-=1<<bit;
                    S[i/3][j/3]-=1<<bit;
                }
            }
        }
        if(cas!=1) printf("---
");
        if(dfs(cnt)){
            for(int i=0;i<N;i++){
                printf("%s
",a[i]);
            }
        }
        else{
            printf("impossible
");
        }
    }
    return 0;
}

从分支最少的部分开始搜索（16*16数独）
1.如果一个位置只能填一个数字，那么就填上这个数字
2.枚举每一个数字，判断在每行、每列、每个十六宫格中有没有可以填的地方。如果只有一个地方可以填，就填上这个数字，如果没有位置可以填，直接回溯
3.选取可能填的数字最少的格子，枚举所有情况进行(dfs)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<cstring>
#include<string>
#include<sstream>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define PII pair<int,int>
#define PLL pair<LL,LL>
#define pi acos(-1.0)
#define eps 1e-6
#define lowbit(x) x&(-x)
using namespace std;

const int N=16;
int num,a[N+5][N+5],table[N+5][N+5];
char s[N+5];
//在某个位置填入数字，同时更新填入这个数字之后的影响
void put_in(int x,int y,int k){
    num++;
    a[x][y]=k;
    table[x][y]|=1<<k;
    for(int i=0;i<N;i++){
        table[x][i]|=1<<k;
        table[i][y]|=1<<k;
    }
    int r=x/4*4;
    int c=y/4*4;
    for(int i=0;i<4;i++){
        for(int j=0;j<4;j++){
            table[r+i][c+j]|=1<<k;
        }
    }
}

int _count(int x){
    for(int i=0;x;i++){
        if(x&1){
            if(x>>1==0) return i;
            return -1;
        }
        x>>=1;
    }
    return -1;
}

int row(int x,int k){
    int t=-1;
    for(int y=0;y<N;y++){
        if(a[x][y]==k) return -1;
        if(a[x][y]>=0) continue;
        if((table[x][y]&1<<k)==0){
            if(t!=-1) return -1;
            t=y;
        }
    }
    if(t!=-1) return t;
    return -2;
}

int col(int y,int k){
    int t=-1;
    for(int x=0;x<N;x++){
        if(a[x][y]==k) return -1;
        if(a[x][y]>=0) continue;
        if((table[x][y]&1<<k)==0){
            if(t!=-1) return -1;
            t=x;
        }
    }
    if(t!=-1) return t;
    return -2;
}

void cube(int r,int c,int k,int& x,int& y){
    x=-2;
    for(int i=0;i<4;i++){
        for(int j=0;j<4;j++){
            if(a[r+i][c+j]==k){
                x=-1;
                return;
            }
            if(a[r+i][c+j]>=0) continue;
            if((table[r+i][c+j]&1<<k)==0){
                if(x!=-2){
                    x=-1;
                    return;
                }
                x=i;
                y=j;
            }
        }
    }
}
//计算一个位置中已经填入的数字个数
int cal(int x){
    int cnt=0;
    while(x){
        if(x&1) cnt++;
        x>>=1;
    }
    return cnt;
}

bool dfs(){
    if(num==256) return true;
    //判断是否存在一个位置，只能填一个数字
    for(int i=0;i<N;i++){
        for(int j=0;j<N;j++){
            if(a[i][j]>=0) continue;
            int k=_count(table[i][j]);
            if(k!=-1) put_in(i,j,k);
        }
    }
    //判断某行是否只能填一个数字
    for(int i=0;i<N;i++){
        for(int k=0;k<N;k++){
            int j=row(i,k);
            if(j==-2) return false;
            if(j!=-1) put_in(i,j,k);
        }
    }
    //判断某列是否只能填一个数字
    for(int j=0;j<N;j++){
        for(int k=0;k<N;k++){
            int i=col(j,k);
            if(i==-2) return false;
            if(i!=-1) put_in(i,j,k);
        }
    }
    //判断某个十六宫格是否只能填一个数字
    for(int i=0;i<N;i+=4){
        for(int j=0;j<N;j+=4){
            for(int k=0;k<N;k++){
                int x,y;
                cube(i,j,k,x,y);
                if(x==-2) return false;
                if(x!=-1) put_in(i+x,j+y,k);
            }
        }
    }
    if(num==256) return true;
    //寻找可以填的数字最少的格子开始搜索
    int t_num,t_table[N+5][N+5],t_a[N+5][N+5];
    t_num=num;
    for(int i=0;i<N;i++){
        for(int j=0;j<N;j++){
            t_table[i][j]=table[i][j];
            t_a[i][j]=a[i][j];
        }
    }
    int mx,my,mn=16;
    for(int i=0;i<N;i++){
        for(int j=0;j<N;j++){
            if(a[i][j]>=0) continue;
            int r=16-cal(table[i][j]);
            if(r<mn){
                mn=r;
                mx=i;
                my=j;
            }
        }
    }
    for(int k=0;k<N;k++){
        if((table[mx][my]&1<<k)==0){
            put_in(mx,my,k);
            if(dfs()) return true;
            num=t_num;
            for(int i=0;i<N;i++){
                for(int j=0;j<N;j++){
                    a[i][j]=t_a[i][j];
                    table[i][j]=t_table[i][j];
                }
            }
        }
    }
    return false;
}

int main(void){
    while(scanf("%s",s)!=EOF){
        num=0;
        memset(table,0,sizeof(table));
        for(int j=0;j<N;j++){
            if(s[j]!='-'){
                put_in(0,j,s[j]-'A');
            }
            else a[0][j]=-1;
        }
        for(int i=1;i<N;i++){
            scanf("%s",s);
            for(int j=0;j<N;j++){
                if(s[j]!='-'){
                    put_in(i,j,s[j]-'A');
                }
                else a[i][j]=-1;
            }
        }
        if(dfs()){
            for(int i=0;i<N;i++){
                for(int j=0;j<N;j++){
                    printf("%c",a[i][j]+'A');
                }
                printf("
");
            }
        }
    }
    return 0;
}