Educational Codeforces Round 104

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A. Arena (*800)

题意

有(n(2leq nleq 100))个人，每人初始有一个能力值(a_i)，每次可以随意选择两个人进行一场比赛，能力值高的人能力值加一，当一个人至少赢了(100^{500})场比赛时，他就是冠军，计算可能成为冠军的人数

题解

对于能力值为(a_i)的人，如果没有人能力值比他小，那么他无法赢得任何比赛，所以无法成为冠军。反之，只要有任何一个人的能力值比他小，他就可以不断和这个人进行比赛，从而成为冠军。所以答案为总人数减去(a_i)最小的人数

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define PII pair<int,int>
#define eps 1e-6
#define lowbit(x) x&(-x)
using namespace std;

const int maxn=110;
int T,n,a[maxn];

int main(){
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
        sort(a+1,a+1+n);
        int ans=(a+1+n)-upper_bound(a+1,a+1+n,a[1]);
        printf("%d
",ans);
    }
}

B. Cat Cycle (*1200)

题意

有两只猫(A)和(B)和(n(2leq nleq 1e9))块它们睡觉所在的毛绒布，这两只猫每小时都会更换睡觉所在地，循环更换：
对于(A)，循环顺序为(n,n-1,,n-2,cdots ,3,2,1,n,n-1,cdots)
对于(B)，循环顺序为(1,2,3,cdots ,n-1,n,1,2,cdots)
由于(A)更年长，所以当(A)和(B)刚好要睡同一块毛绒布时，(A)睡这块毛绒布，(B)睡它的顺序里的下一块毛绒布
给出小时数(k(1leq kleq 1e9))，计算经过(k)个小时之后(B)位于的毛绒布编号

题解

如果(n)是偶数，则(A)和(B)不会在同一块毛绒布上相遇，可以通过(k\% n)计算(B)的位置
如果(n)是奇数，则每经过(lfloor frac{2}{n} floor)步，(B)就会比(A)多走(1)步，可以通过((k+lfloor frac{2}{n} floor)\% n)计算(B)的位置

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define PII pair<int,int>
#define eps 1e-6
#define lowbit(x) x&(-x)
using namespace std;

int T;
LL n,k;

int main(){
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%lld %lld",&n,&k);
        k--;
        if(n%2==0){
            printf("%lld
",k%n+1);
        }
        else{
            LL f=n/2;
            k+=k/f;
            printf("%lld
",k%n+1);
        }
    }
}

C. Minimum Ties (*1500)

题意

有(n(2leq nleq 100))支队伍，两两之间进行一场比赛，一共进行(frac{n(n-1)}{2})场比赛。胜者得(3)分，败者得(0)分，平局双方各得(1)分。构造一种每局的胜败情况，使得所有比赛结束之后所有队伍的分数相同并且平局数量最少

题解

case 1: (n)为奇数。每支队伍需要进行((n-1))场比赛，((n-1))为偶数，所以只要每支队伍胜(frac{(n-1)}{2})场，负(frac{(n-1)}{2})场，则不需要平局。具体构造方法是将所有队伍按照编号围成一个圆圈，每支队伍与之后(frac{(n-1)}{2})支队伍的比赛结果为胜，与再之后(frac{(n-1)}{2})支队伍的比赛结果为负

case 2: (n)为偶数。如果所有(frac{n(n-1)}{2})场比赛全都不是平局，则总得分为(frac{3n(n-1)}{2})，无法整除(n)，所以需要平局，平局数量最少为(frac{n}{2})。具体构造方法是将所有队伍按照编号围成一个圆圈，每支队伍与之后(frac{(n-2)}{2})支队伍的比赛结果为胜，与之后第(frac{n}{2})支队伍的比赛结果为平局，与再之后(frac{n(n-2)}{2})支队伍的比赛结果为负

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define PII pair<int,int>
#define PLL pair<LL,LL>
#define PLI pair<LL,int>
#define pi acos(-1.0)
#define eps 1e-6
#define lowbit(x) x&(-x)
using namespace std;

int T,n;

int main(){
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d",&n);
        if(n&1){
            for(int i=1;i<=n;i++){
                for(int j=i+1;j<=n;j++){
                    if(j-i<=n/2) printf("1");
                    else printf("-1");
                    if(i==n-1 && j==n) printf("
");
                    else printf(" ");
                }
            }
        }
        else{
            for(int i=1;i<=n;i++){
                for(int j=i+1;j<=n;j++){
                    if(j-i<n/2) printf("1");
                    else if(j-i==n/2) printf("0");
                    else printf("-1");
                    if(i==n-1 && j==n) printf("
");
                    else printf(" ");
                }
            }
        }
    }
}

D

题意

给出(n(1leq nleq 1e9))，计算有多少组((a,b,c))满足
( left{ egin{matrix} 1leq aleq bleq cleq n\ c^2=a^2+b^2\ c=a^2-b\ end{matrix} ight. )

题解

将(a^2)代换，得到(b^2+b=c^2-c)，即为(b(b+1)=c(c-1))，也就是(c=b+1)，所以(2leq cleq n)。将(b=c-1)代入(a^2=b+c)，得到(a^2=2c-1)，所以(a)为奇数，由于(aapprox sqrt{c} leq sqrt{n})，所以可以枚举(a)，时间复杂度(O(sqrt{n}))。也可以直接推出式子得到答案：(ans=frac{sqrt{2n-1}+1}{2}-1)，时间复杂度(O(1))
(O(sqrt{n}))

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
 
int T;
LL n;
 
int main(){
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%lld",&n);
        LL ans=0;
        for(LL i=3;i*i<=2*n-1;i+=2) ans++;
        printf("%lld
",ans);
    }
}

(O(1))

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;

int T;
LL n;

int main(){
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%lld",&n);
        LL ans=(sqrt(2*n-1)+1)/2-1;
        printf("%lld
",ans);
    }
}

E

F

G