数字图像处理之傅里叶变换
by方阳
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1. 前言
今天将之前学的数字图像处理的东西放到博客园里，所以下面会有连续几篇的博客都是关于数字图像处理的！
这篇博客将介绍图像的快速傅里叶变换，逆变换以及图像的平移变换的实现，理论的知识还请看书和百度，这里不再复述。
2. 原理说明
（1） 图像的二维FFT变换可以观察图像的频谱，再进行逆变换即可复原图像；
（2） 图像的平移性：图像在空间域乘以-1^(x+y),再进行傅里叶变换，即可看出图像的频谱图在x和y周平移了半个周期，原因是-1^(x+y)傅里叶变换表现复指数函数，相当于频谱的平移；
3. 实现内容
（1） 选择一幅图像，显示傅里叶变换频谱。再对得到傅里叶图像做傅里叶逆变换，显示图像，观察是否与原图像相同。
（2） 图像做傅里叶变换的平移性证明，将频谱中心移至中央。
4. 程序实现及实验结果
(1) 图像的傅里叶变换与反变换
参考代码：
I=imread('lena.bmp');
I_2D=D3_To_D2(I);
I1=fft2(I_2D);
I2=uint8(real(ifft2(I1)));
I1=log(1+abs(fftshift(I1)));
figure;
subplot(1,3,1);
imshow(I);
title('原图');
subplot(1,3,2);
imshow(I1,[]);
title('fft2后的频谱');
subplot(1,3,3);
imshow(I2,[]);
title('ifft2后的复原图像');
D3_To_D2函数（将三维降二维）参考代码：
function image_out=D3_To_D2(image_in)
[m,n]=size(image_in);
n=n/3;%由于我的灰度图像是185x194x3的，所以除了3，你们如果是PxQ的，就不要加了
A=zeros(m,n);%构造矩阵
for i=1:m
for j=1:n
A(i,j)= image_in(i,j);%填充图像到A
end
end
image_out=uint8(A);
运行结果：
（2）平移验证
参考代码：
f(1000,1000)=0;
f=mat2gray(f);
[Y,X]=meshgrid(1:1000,1:1000);
f(350:649,475:524)=1;
f2=f.*(-1).^(X+Y);
f1=fft2(f);
f1_1=abs(f1);
f2=fft2(f2);
f3=log(1+abs(f2));
figure;
subplot(2,2,1);
imshow(f);
title('原图');
subplot(2,2,2);
imshow(f1_1,[]);
title('fft2后的频谱');
subplot(2,2,3);
imshow(abs(f2),[]);
title('中心化');
subplot(2,2,4);
imshow(f3,[]);
title('对数化');
运行结果：
（3）相角复原（新添的）
参考代码:
I=imread('boy.jpg');
I=D3_To_D2(I);
I=fft2(I);
I_angle=angle(I);
I4=exp(1i*I_angle);
I4=uint8(ifft2(I4)*256);
I5=ifft2(I);
figure;
subplot(2,2,1);
imshow(I_angle);
title('相角');
subplot(2,2,2);
imshow(I4,[]);
title('相角复原后的图像');
subplot(2,2,3);
imshow(I5,[]);
title('谱复原后的图像');
运行结果：
五． 结果分析
1.由第一个图可以看出，图像经过傅里叶变换再经过傅里叶反变换是可以还原出原图像的。
2.由第二个图可以看出，图像的平移性对观察图像的傅里叶频谱很有帮助，图像的频谱经过平移，低频聚集在中心，易于观察，对频谱进行对数化可以更加直观看图像的频谱分布。
3.由第三个图可以看出，相角决定图像的细节。