竞赛准备篇---（一）抽签问题

问题描述：

将写有数字的 n个纸片放入口袋中，你可以从口袋中抽取 4次纸片，每次记下纸片上的数字后都将其放回口袋中。如果这 4个数字的和是 m，就是你赢，否则就是你的朋友赢。你挑战了好几回，结果一次也没赢过，于是怒而撕破口袋，取出所有纸片，检查自己是否真的有赢的可能性。请你编写一个程序，判断当纸片上所写的数字是 k 1 ,k 2 , …, k n 时，是否存在抽取 4次和为 m的方案。如果存在，输出 Yes；否则，输出 No。

限制条件
  1 ≤ n ≤ 50
  1 ≤ m ≤ 10^₈
  1 ≤ k i ≤10^₈

输入：
n = 3    m = 10   k = {1, 3, 5}

输出：

YES（1 + 1 + 3 + 5 = 10）

解题思路：
由于问题规模小，可以直接四重循环

#include<bits/stdc++.h> 
#define FOR(i, a, b) for(int i = a; i < b; i++)
using namespace std;
int main()
{
    int n, m, k[55];
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0; i < n; i++)cin >> k[i];
    bool ans = false; //标记是否找到解 
    FOR(i, 0, n)FOR(j, 0, n)FOR(r, 0, n)FOR(s, 0, n)
    {
        if(k[i] + k[j] + k[r] + k[s] == m)ans = true;
    }
    if(ans)cout<<"YES"<<endl;
    else cout<<"NO"<<endl;
}

拓展：

如果问题规模扩大，n属于1到1000，上述算法肯定失效。所以必须优化算法：

最开始我们考虑的是检查是否有ki,kj,kr,ks之和等于m，算法时间复杂度为O(n⁴)。转移表达式，检查是否存在ks = m - ki - kj - kr;可以想到，枚举外面三层，最后判断ks是否存在即可，判断的话可以用二分查找，这样时间复杂度降低成了O(n³log(n))。但是对于1000的数据还是需要很长的时间，所以考虑是否存在kr+ks = m - ki - kj。这种情况不能直接使用二分搜索，但是，如果事先枚举出所有的kr + ks之和，并排序，就可以进行二分搜索。这样预处理+排序+二重循环搜索时间复杂度降低成了O(n²log(n))。这样n = 1000也可以轻易地过了。

#include<bits/stdc++.h> 
#define FOR(i, a, b) for(int i = a; i < b; i++)
using namespace std;
const int maxn = 1e3 + 10;
int k[maxn];
int kk[maxn * maxn];
int tot;
int n, m;
bool binary_search(int x)
{
    int l = 0, r = tot;
    while(l <= r)
    {
        int m = (l + r) / 2;
        if(kk[m] == x)return true;
        if(kk [m] < x)l = m + 1;
        else r = m - 1; 
    }
    return false;
}
void init()//可以直接用STL里面的set，把两层循环枚举的和放入set中，直接判断是否存在（set中的count函数） 
{
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        for(int j = i; j < n; j++)kk[tot++] = k[i] + k[j];
    }
    sort(kk, kk + tot);//排序 
}
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0; i < n; i++)cin >> k[i];
    init();
    bool ans = false; //标记是否找到解 
    FOR(i, 0, n)FOR(j, 0, n)
    {
        if(binary_search(m - k[i] - k[j]))ans = true; 
    }
    if(ans)cout<<"YES"<<endl;
    else cout<<"NO"<<endl;
}