【莫队】专题总结

一直要写莫队的总结都没时间写- -

今天下午把它写掉吧

莫队的思路就是对询问分块然后排序 使得总时间复杂度优化一个√(n)级别

具体还是拿一道题目来说吧- -

例题

【2009国家集训队】 小z的袜子

给出n个数表示n只袜子的颜色 询问l、r 表示区间[l,r] 内随机抽取两只袜子同色的概率

显然就是要求区间[l,r] 内有几对袜子是颜色相同的

暴力的做法 维护num[i]表示颜色为i的袜子有几只 时间O(nm)

莫队的做法就是 先把n只袜子分成√n块 每块√n

把所有的询问排序 按第一关键字为l所属的块 第二关键字为r

把第一关键字相同的一起处理

每块只有√n个点 所以相邻两次询问的l最多差√n 而r递增 所以这些询问的r变化总和为O(n)的

总时间复杂度O(n√n)

代码

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
typedef long long ll;
using namespace std;
const ll N=50001;
struct info{
    ll x,y,t;
    info(const ll a=0,const ll b=0,const ll c=0):
        x(a),y(b),t(c){}
}ask[N],save[N];
ll n,m,add,ns,col[N],num[N],ans[N],anss;
inline bool cmp(info a,info b){ return a.y<b.y; }
ll gcd(ll x,ll y){ return y ? gcd(y,x%y) : x; }
void addnum(ll x,ll y,ll s){
    for (ll i=x;i<=y;i++){
        if (num[col[i]]) anss-=num[col[i]]*(num[col[i]]-1);
        num[col[i]]+=s;
        anss+=num[col[i]]*(num[col[i]]-1);
    }
}
void work(){
    ll add=(int)sqrt(n);
    for (ll i=1;i<=n;i+=add){
        memset(num,0,sizeof(num));
        anss=0;
        ns=0;
        for (ll j=1;j<=m;j++)
        if (i<=ask[j].x && ask[j].x<i+add) save[++ns]=ask[j];
        sort(save+1,save+ns+1,cmp);
        for (ll last=i+add,j=1;j<=ns;j++){
            if (save[j].y<i+add) addnum(save[j].x,save[j].y,1);
            else{
                addnum(save[j].x,i+add-1,1);
                addnum(last,save[j].y,1);
                last=save[j].y+1;
            }
            ans[save[j].t]=anss;
            if (save[j].y<i+add) addnum(save[j].x,save[j].y,-1);
            else  addnum(save[j].x,i+add-1,-1);
        }
    }
}
int main(){
    freopen("bz2038.in","r",stdin);
    freopen("bz2038.out","w",stdout);
    scanf("%I64d%I64d",&n,&m);
    for (ll i=1;i<=n;i++) scanf("%I64d",&col[i]);
    for (ll x,y,i=1;i<=m;i++){
        scanf("%I64d%I64d",&x,&y);
        ask[i]=info(x,y,i);
    }
    work();
    for (ll i=1;i<=m;i++){
        ll x=ans[i],y=ask[i].y-ask[i].x+1;
        if (y==1){
            puts("0/1");
            continue;
        }
        y=y*(y-1);
        ll gc=gcd(x,y);
        printf("%I64d/%I64d
",x/gc,y/gc);
    }
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
}

带询问

但是这题没有修改操作 如果有修改操作怎么办呢- -

我们可以把n平均分为3√n块

排序时第一关键字为l所在的块 第二关键字为r所在的块 第三关键字为询问/操作时间ti

对于前两个关键字相同的一起处理 处理这么一堆的时间复杂度为O(n) 所以总时间复杂度为O(n^(5/3))

支持在线

还有一种比较快的方法 而且支持在线（其实感觉都不叫莫队了 明明就是分块）

维护f[x][y]表示第x块到第y块的答案 每次修改O((3√n)^2) 询问则只要O(n/(3√n))

但是有个缺点 有时候需要维护的值不止一个 如上面每种袜子的个数 空间很可能会不够用