渐进记号的定义

渐进确界Θ

　　Θ(g(n))={ f(n)：存在正常数c₁,c₂和n₀，使对所有的n>=n₀，有0<=c₁g(n)<=f(n)<=c₂g(n) }

(在集合表示法中，“：”应读作“满足......的特性”)

渐进上界O

　　O(g(n))={ f(n)：存在正常数c和n₀，使对所有n>=n₀，有0<=f(n)<=cg(n) }

渐进下界Ω

　　Ω(g(n))={ f(n)：存在正常数c和n₀，使对所有n>=n₀，有0<=cg(n)<=f(n) }

非渐进紧确的上界o

其中，O记号所提供的渐进上界可能是也可能不是渐进紧确的。我们使用o记号表示非渐进紧确的上界：

　　o(g(n))={ f(n)：对任意正常数c，存在常数n₀>0，使对所有的n>=n₀，有0<=f(n)<=cg(n) }

非渐进紧确的下界ω

ω记号与Ω记号的关系就好像o记号与O记号的关系一样。我们用ω记号来表示非渐进紧确的下界:

　　ω(g(n))={ f(n)：对任意正常数c，存在常数n₀>0，使对所有的n>=n₀，有0<=cg(n)<f(n) }

或者另一种定义为

　　f(n)∈ω(g(n))当且仅当g(n)∈o(f(n))

记号Θ，O和Ω的图例。在每个部分中，n₀是最小的可能值；大于n₀的值也有效。

a）Θ记号限制一个函数在常数因子内。如果存在正常数n₀，c₁和c₂使得在n₀右边 f(n)的值永远在c₁g(n)与c₂g(n)之间，那么可以写成f(n)=Θ(g(n))。

b）O记号给出一个函数在常数因子内的上限。如果存在正常数n₀和c使得在n₀右边 f(n)的值永远等于或小于cg(n)，那么可以写成f(n)=O(g(n))。

c）Ω记号给出一个函数在常数因子内的下限。如果存在正常数n₀和c使得在n₀右边 f(n)的值永远等于或大于cg(n)，那么可以写成f(n)=Ω(g(n))。

摘自《算法导论》 P26-30  3.1渐进记号 

ISBN 7-111-18777-6  

原名《Introduction to Algorithms(Second Edition)》