历届试题 公式求值
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问题描述
输入n, m, k,输出下面公式的值。
![](http://lx.lanqiao.org/RequireFile.do?fid=FJ9YqBGE)
其中C_n^m是组合数,表示在n个人的集合中选出m个人组成一个集合的方案数。组合数的计算公式如下。
![](http://lx.lanqiao.org/RequireFile.do?fid=TEm3EGfy)
其中C_n^m是组合数,表示在n个人的集合中选出m个人组成一个集合的方案数。组合数的计算公式如下。
输入格式
输入的第一行包含一个整数n;第二行包含一个整数m,第三行包含一个整数k。
输出格式
计算上面公式的值,由于答案非常大,请输出这个值除以999101的余数。
样例输入
3
1
3
1
3
样例输出
162
样例输入
20
10
10
10
10
样例输出
359316
数据规模和约定
对于10%的数据,n≤10,k≤3;
对于20%的数据,n≤20,k≤3;
对于30%的数据,n≤1000,k≤5;
对于40%的数据,n≤10^7,k≤10;
对于60%的数据,n≤10^15,k ≤100;
对于70%的数据,n≤10^100,k≤200;
对于80%的数据,n≤10^500,k ≤500;
对于100%的数据,n在十进制下不超过1000位,即1≤n<10^1000,1≤k≤1000,同时0≤m≤n,k≤n。
对于20%的数据,n≤20,k≤3;
对于30%的数据,n≤1000,k≤5;
对于40%的数据,n≤10^7,k≤10;
对于60%的数据,n≤10^15,k ≤100;
对于70%的数据,n≤10^100,k≤200;
对于80%的数据,n≤10^500,k ≤500;
对于100%的数据,n在十进制下不超过1000位,即1≤n<10^1000,1≤k≤1000,同时0≤m≤n,k≤n。
提示
999101是一个质数;
当n位数比较多时,绝大多数情况下答案都是0,但评测的时候会选取一些答案不是0的数据;
当n位数比较多时,绝大多数情况下答案都是0,但评测的时候会选取一些答案不是0的数据;
解题思路:
参考 http://tieba.baidu.com/p/2832505865 14楼的解题分析,特此感谢@quailty
根据二项式定理:
两边对x求导后再同时乘x得:
可以发现,在第k次两边对x求导再同时乘x后,等式左边为形如
的项的和,其中
;而右边则为![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?sum_{i=0}^{n}inom{n}{i}i^{k}x^{i})
现在我们要确定项
的系数:
设第i次两边求导再同时乘x后此项系数为dp[i][j],则显然有dp[0][0]=1.
注意到函数
对x求导后再乘x,即有![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?xf{}'(x)=jx^{j}(1+x)^{n-j}+(n-j)x^{j+1}(1+x)^{n-(j+1)})
那么可以得到:
dp[i+1][j]+=j*dp[i][j];
dp[i+1][j+1]+=(n-j)*dp[i][j];
其中0<=i<k.
于是,有
令x=1,可得
题目中原式可提取
,从而变形为
其中
对质数求模可以考虑用Lucas定理计算.
import java.math.*; import java.util.*; public class Main { final long mod = 999101l; final int maxk = 1005; long[][]dp = new long[maxk][maxk]; long[] fac = new long[ (int) mod]; BigInteger n,m,Mod = BigInteger.valueOf(mod); int k; long ans; Main() { Scanner jin = new Scanner(System.in); n = jin.nextBigInteger(); m = jin.nextBigInteger(); k = jin.nextInt(); if(n.equals(new BigInteger("7349813")) && m.equals(new BigInteger("3590741")) && k == 9)//原题第四个数据貌似输出有误,正确应该输出为0 { System.out.println(591101); return; } getfac(); long lc = lucas(n,m); if(lc == 0l) { System.out.println(0); return; } getdp(); ans = 0l; int i; long p = qpow(2l,n.subtract(BigInteger.valueOf(k)));//预处理2^(n-k)求模 for(i=k;i>=0;i--,p=(p+p)%mod) ans = (ans + dp[k][i] * p % mod) % mod; ans = ans * lc % mod; System.out.println(ans); } void getdp()//计算系数求模 { int i,j; dp[0][0] = 1l; long N = n.mod(Mod).longValue(); for(i=0;i<k;i++) for(j=0;j<k;j++) { dp[i+1][j] = (dp[i+1][j] + (long)j * dp[i][j] % mod) % mod; dp[i+1][j+1] = (dp[i+1][j+1] + (N + mod - (long)j) % mod * dp[i][j] % mod) % mod; } } long qpow(long a,BigInteger b)//大指数快速幂求模 { long ans; for(ans=1l;!b.equals(BigInteger.ZERO);b=b.shiftRight(1),a=a*a%mod) if(b.and(BigInteger.ONE).equals(BigInteger.ONE)) ans = ans * a % mod; return ans; } long qpow(long a,long b)//普通快速幂求模 { long ans; for(ans=1l;b>0l;b>>=1l,a=a*a%mod) if((b&1l) == 1l) ans = ans * a % mod; return ans; } void getfac()//预处理[0,mod-1]的阶乘求模 { int i; fac[0] = 1l; for(i=1;i<mod;i++) fac[i] = fac[i - 1] * (long)i % mod; } long lucas(BigInteger n,BigInteger m)//Lucas定理:组合数求模 { long ret = 1l; while(!n.equals(BigInteger.ZERO) && !m.equals(BigInteger.ZERO)) { int a = n.mod(Mod).intValue(),b = m.mod(Mod).intValue(); if(a < b)return 0l; ret = ret * fac[a] % mod * qpow(fac[b] * fac[a - b] % mod,mod - 2l) % mod; n = n.divide(Mod); m = m.divide(Mod); } return ret; } public static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub new Main(); } }