树​状​数​组​求​逆​序​数​原​理

In this problem, you have to analyze a particular sorting algorithm. The algorithm processes a sequence of n distinct integers by swapping two adjacent sequence elements until the sequence is sorted in ascending order. For the input sequence

9 1 0 5 4 ,

Ultra-QuickSort produces the output

0 1 4 5 9 .

Your task is to determine how many swap operations Ultra-QuickSort needs to perform in order to sort a given input sequence.

Input

The input contains several test cases. Every test case begins with a line that contains a single integer n < 500,000 -- the length of the input sequence. Each of the the following n lines contains a single integer 0 ≤ a[i] ≤ 999,999,999, the i-th input sequence element. Input is terminated by a sequence of length n = 0. This sequence must not be processed.

Output

For every input sequence, your program prints a single line containing an integer number op, the minimum number of swap operations necessary to sort the given input sequence.

Sample Input

5
9
1
0
5
4
3
1
2
3
0

Sample Output

6
0

树状数组，具体的说是 离散化+树状数组。这也是学习树状数组的第一题. 算法的大体流程就是：
1.先对输入的数组离散化，使得各个元素比较接近，而不是离散的， 2.接着，运用树状数组的标准操作来累计数组的逆序数。 算法详细解释： 
1.解释为什么要有离散的这么一个过程？
    刚开始以为999.999.999这么一个数字，对于int存储类型来说是足够了。     还有只有500000个数字，何必要离散化呢？
    刚开始一直想不通，后来明白了，后面在运用树状数组操作的时候，     用到的树状数组C[i]是建立在一个有点像位存储的数组的基础之上的，     不是单纯的建立在输入数组之上。
    比如输入一个9 1 0 5 4，那么C[i]树状数组的建立是在，     下标 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9      数组 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1
    现在由于999999999这个数字相对于500000这个数字来说是很大的，
    所以如果用数组位存储的话，那么需要999999999的空间来存储输入的数据。     这样是很浪费空间的，题目也是不允许的，所以这里想通过离散化操作，     使得离散化的结果可以更加的密集。  2. 怎么对这个输入的数组进行离散操作？
   离散化是一种常用的技巧，有时数据范围太大，可以用来放缩到我们能处理的范围；    因为其中需排序的数的范围0---999 999 999；显然数组不肯能这么大；    而N的最大范围是500 000；故给出的数一定可以与1.。。。N建立一个一一映射；    ①当然用map可以建立，效率可能低点；    ②这里用一个结构体    struct Node    {
      int v,ord;
   }p[510000];和一个数组a[510000];
   其中v就是原输入的值，ord是下标；然后对结构体按v从小到大排序；
   此时，v和结构体的下标就是一个一一对应关系，而且满足原来的大小关系；    for(i=1;i<=N;i++) a[p[i].ord]=i;
   然后a数组就存储了原来所有的大小信息；
   比如 9 1 0 5 4 ------- 离散后aa数组就是 5 2 1 4 3；    具体的过程可以自己用笔写写就好了。 
3. 离散之后，怎么使用离散后的结果数组来进行树状数组操作，计算出逆序数？      如果数据不是很大， 可以一个个插入到树状数组中，      每插入一个数， 统计比他小的数的个数，     对应的逆序为 i- getsum( aa[i] ),
    其中 i 为当前已经插入的数的个数，      getsum( aa[i] ）为比 aa[i] 小的数的个数, 
    i- sum( aa[i] ) 即比 aa[i] 大的个数， 即逆序的个数     但如果数据比较大，就必须采用离散化方法
    假设输入的数组是9 1 0 5 4， 离散后的结果aa[] = {5,2,1,4,3}; 
在离散结果中间结果的基础上，那么其计算逆序数的过程是这么一个过程。

1，输入5，   调用upDate(5, 1),把第5位设置为1  

1 2 3 4 5 

 0 0 0 0 1
计算1-5上比5小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（5） = 1操作，  现在用输入的下标1 - getSum(5) = 0 就可以得到对于5的逆序数为0。 2. 输入2， 调用upDate(2, 1),把第2位设置为1  

1 2 3 4 5  

0 1 0 0 1
计算1-2上比2小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（2） = 1操作，  现在用输入的下标2 - getSum(2) = 1 就可以得到对于2的逆序数为1。 3. 输入1， 调用upDate(1, 1),把第1位设置为1  

1 2 3 4 5 

1 1 0 0 1
计算1-1上比1小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（1） = 1操作，  现在用输入的下标 3 - getSum(1) = 2 就可以得到对于1的逆序数为2。 4. 输入4， 调用upDate(4, 1),把第5位设置为1  

1 2 3 4 5 

1 1 0 1 1
计算1-4上比4小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（4） = 3操作，  现在用输入的下标4 - getSum(4) = 1 就可以得到对于4的逆序数为1。 5. 输入3， 调用upDate(3, 1),把第3位设置为1  

1 2 3 4 5 

1 1 1 1 1
计算1-3上比3小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（3） = 3操作，  现在用输入的下标5 - getSum(3) = 2 就可以得到对于3的逆序数为2。 6. 0+1+2+1+2 = 6 这就是最后的逆序数 
分析一下时间复杂度，首先用到快速排序，时间复杂度为O(NlogN),
后面是循环插入每一个数字，每次插入一个数字，分别调用一次upData()和getSum() 外循环N, upData()和getSum()时间O(logN) => 时间复杂度还是O(NlogN). 

最后总的还是O(NlogN). 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=500005;
int c[maxn],n;//存树状数组,n表示点数，从-1-开始“important"
int aa[maxn];//存离散化后的数组
 class node {
    public:
    int val,order; };
node in[maxn];//存原始数据
//树状数组的3个函数
int lowbit(int x)
 {
    return x&(-x);
 }
void update(int x,int val) {
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))     {
        c[i]+=val;     } }
int getsum(int x) {
    int temp=0;
    for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i))     {
        temp+=c[i];     }
    return temp; }
bool cmp(node a,node b) {
    return a.val<b.val; }
int main() {
    while(scanf("%d",&n)==1&&n)     {
        for(int i=1;i<=n;i++) {scanf("%d",&in[i].val);in[i].order=i;}         //离散化
        sort(in+1,in+n+1,cmp);
        for(int i=1;i<=n;i++) aa[in[i].order]=i;         //用树状数组求逆序数
         memset(c,0,sizeof(c));
long long ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)         {
            update(aa[i],1);
            ans+=i-getsum(aa[i]);         }
        cout<<ans<<endl;     }
    return 0;
}

或者是：
我们只是将两个函数中的循环语句调换了下，现在每次要修改点ｘ的值，就要修改(1, …x-Lowbit(x-Lowbit(x))), x-Lowbit(x), x)路径，而求和就变成求(x, x+Lowbit(x), x+Lowbit(x+Lowbit(x))),…)这条路径的点。而这不正好就是大于等于x的点的求和吗？ 
       所以我们既可以修改x增大的路，求和x减小的路；也可以修改x减小的路，求和x增大的路，根据题目的需要来决定用哪种。我们只是将两个函数中的循环语句调换了下，现在每次要修改点ｘ的值，就要修改(1, …x-Lowbit(x-Lowbit(x))), x-Lowbit(x), x)路径，而求和就变成求(x, x+Lowbit(x), x+Lowbit(x+Lowbit(x))),…)这条路径的点。而这不正好就是大于等于x的点的求和吗？  
       所以我们既可以修改x增大的路，求和x减小的路；也可以修改x减小的路，求和x增大的路，根据题目的需要来决定用哪种。 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring> 
#include<algorithm> 
using namespace std; 
const int maxn=500005;
int c[maxn],n;//存树状数组,n表示点数，从-1-开始“important" 
　 int aa[maxn];//存离散化后的数组
 class node {
    public:
    int val,order; };
node in[maxn];//存原始数据 //树状数组的3个函数 
int lowbit(int x) {
    return x&(-x); }
void update(int x,int val) {
    for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i))//修改     
　　　　{
        c[i]+=val;     
　　　　} 
　　　　}
int getsum(int x) {
    int temp=0；
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))//修改     
　　　　{
        temp+=c[i];     }
    return temp; }
bool cmp(node a,node b) {
    return a.val<b.val; }
int main() {
    while(scanf("%d",&n)==1&&n)     {
        for(int i=1;i<=n;i++) {scanf("%d",&in[i].val);in[i].order=i;}         //离散化
        sort(in+1,in+n+1,cmp);
        for(int i=1;i<=n;i++) aa[in[i].order]=i;         //用树状数组求逆序数
memset(c,0,sizeof(c));         
long long ans=0;        
 for(int i=1;i<=n;i++)         
{
            update(aa[i],1);
            ans+=getsum(aa[i])-1;//修改         
}
        cout<<ans<<endl;     
}
    return 0;
 }