这题目是经典的DP题目，也可叫作LIS（Longest Increasing Subsequence）最长上升子序列 或者 最长不下降子序列。很基础的题目，有两种算法，复杂度分别为O(n*logn)和O(n^2) 。
A.
O(n^2)算法分析如下：
（a[1]...a[n] 存的都是输入的数）
1、对于a[n]来说，由于它是最后一个数，所以当从a[n]开始查找时，只存在长度为1的上升子序列；
2、若从a[n-1]开始查找，则存在下面的两种可能性：
（1）若a[n-1] < a[n] 则存在长度为2的上升子序列 a[n-1],a[n];
（2）若a[n-1] > a[n] 则存在长度为1的上升子序列 a[n-1]或者a[n]。
3、一般若从a[t]开始，此时最长不下降子序列应该是按下列方法求出的：
在a[t+1],a[t+2],...a[n]中，找出一个比a[t]大的且最长的上升子序列，作为它的后继。
#include <iostream> #include <stdio.h> using namespace std; int main(void) { int i,j,n,a[100],b[100],max; while(cin>>n) { for(i=0; i<n; i++) cin>>a[i]; b[0]=1; //初始化，以a[0]结尾的最长递增子序列长度为1 for(i=1; i<n; i++) { b[i]=1; //b[i]最小值为1 for(j=0; j<i; j++) if(a[j]<a[i]&&b[j]+1>b[i]) b[i]=b[j]+1; // for(int k=0;k<=i;k++)printf("%d ",b[k]); // printf(" "); } for(max=i=0; i<n; i++) //求出整个数列的最长递增子序列的长度 if(b[i]>max) max=b[i]; cout<<max<<endl; } return 0; }
个人理解：
就例子5 8 0 15 100 47来说，外层循环先从8开始然后与8前面的5比，8>5且b[1]<b[0]+1;所以b[1]=2了；然后0和0前面的5比，0<5不用看了，然后0和8比，
0<8也不用看，b[2]还是为1，然后15和前面5,8,0比，15>5且b[3]<b[0]+1;b[3]=b[0]+1=2,然后15>8且b[3]<b[1]+1,所以b[3]=b[1]+1=3了，
15>0但b[3]不小于b[2]+1,所以b[3]还是3；。。。。后面思路就会了。。
显然，这种方法的时间复杂度仍为o(n^2);
B.
最长不下降子序列的O(nlogn)算法分析如下:
设 A[t]表示序列中的第t个数，F[t]表示从1到t这一段中以t结尾的最长上升子序列的长度，初始时设F [t] = 0(t = 1, 2, ..., len(A))。则有动态规划方程：F[t] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., t - 1, 且A[j] < A[t])。
现在，我们仔细考虑计算F[t]时的情况。假设有两个元素A[x]和A[y]，满足
(1)x < y < t
(2)A[x] < A[y] < A[t]
(3)F[x] = F[y]
此时，选择F[x]和选择F[y]都可以得到同样的F[t]值，那么，在最长上升子序列的这个位置中，应该选择A[x]还是应该选择A[y]呢？
很明显，选择A[x]比选择A[y]要好。因为由于条件(2)，在A[x+1] ... A[t-1]这一段中，如果存在A[z]，A[x] < A[z] < a[y]，则与选择A[y]相比，将会得到更长的上升子序列。
再根据条件(3)，我们会得到一个启示：根据F[]的值进行分类。对于F[]的每一个取值k，我们只需要保留满足F[t] = k的所有A[t]中的最小值。设D[k]记录这个值，即D[k] = min{A[t]} (F[t] = k)。
注意到D[]的两个特点：
(1) D[k]的值是在整个计算过程中是单调不下降的。
(2) D[]的值是有序的，即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。
利 用D[]，我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断A[t]与D[len]。若A [t] > D[len]，则将A[t]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列，len = len + 1， D[len] = A [t]；否则，在D[1]..D[len]中，找到最大的j，满足D[j] < A[t]。令k = j + 1，则有A [t] <= D[k]，将A[t]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列，更新D[k] = A[t]。最后，len即为所要求的最长上 升子序列的长度。
在 上述算法中，若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找，由于共有O(n)个元素需要计算，每次计算时的复杂度是O(n)，则整个算法的 时间复杂度为O(n^2)，与原来的算法相比没有任何进步。但是由于D[]的特点(2)，我们在D[]中查找时，可以使用二分查找高效地完成，则整个算法 的时间复杂度下降为O(nlogn)，有了非常显著的提高。需要注意的是，D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列！
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 int find(int *a,int len,int n)//若返回值为x,则a[x]>=n>a[x-1] 4 { 5 int left=0,right=len,mid=(left+right)/2; 6 while(left<=right) 7 { 8 if(n>a[mid]) left=mid+1; 9 else if(n<a[mid]) right=mid-1; 10 else return mid; 11 mid=(left+right)/2; 12 } 13 return left; 14 } 15 16 void fill(int *a,int n) 17 { 18 for(int i=0;i<=n;i++) 19 a[i]=1000; 20 } 21 22 int main(void) 23 { 24 int max,i,j,n,a[100],b[100],c[100]; 25 while(cin>>n) 26 { 27 fill(c,n+1); 28 for(i=0;i<n;i++) 29 cin>>a[i]; 30 c[0]=-1;// …………………………………1 31 c[1]=a[0];// …………………………2 32 b[0]=1;// …………………………………3 33 for(i=1;i<n;i++)// ………………4 34 { 35 j=find(c,n+1,a[i]);// …………………5 36 c[j]=a[i];// ………………………………6 37 b[i]=j;//……………………………………7 38 } 39 for(max=i=0;i<n;i++)// ………………………8 40 if(b[i]>max) 41 max=b[i]; 42 cout<<max<<endl; 43 } 44 return 0; 45 }
对于这段程序，我们可以用算法导论上的loop invariants来帮助理解.
loop invariant : 1、每次循环结束后c都是单调递增的。(这一性质决定了可以用二分查找）
2、每次循环后，c[i]总是保存长度为i的递增子序列的最末的元素，若长度为i的递增子序
列有多个，刚保存末尾元素最小的那个.（这一性质决定是第3条性质成立的前提）
3、每次循环完后，b[i]总是保存以a[i]结尾的最长递增子序列。
initialization: 1、进入循环之前，c[0]=-1,c[1]=a[0],c的其他元素均为1000,c是单调递增的;
2、进入循环之前，c[1]=a[0],保存了长度为1时的递增序列的最末的元素，且此时长度为1
的递增了序列只有一个，c[1]也是最小的;
3、进入循环之前，b[0]=1，此时以a[0]结尾的最长递增子序列的长度为1.
maintenance: 1、若在第n次循环之前c是单调递增的，则第n次循环时，c的值只在第6行发生变化，而由
c进入循环前单调递增及find函数的性质可知（见find的注释),
此时c[j+1]>c[j]>=a[i]>c[j-1],所以把c[j]的值更新为a[i]后，c[j+1]>c[j]> c[j-1]的性质仍然成
立，即c仍然是单调递增的；
2、循环中，c的值只在第6行发生变化，由c[j]>=a[i]可知，c[j]更新为a[i]后，c[j]的值只会变
小不会变大，因为进入循环前c[j]的值是最小的，则循环中把c[j]更新为更小的a[i]，当
然此时c[j]的值仍是最小的;
3、循环中，b[i]的值在第7行发生了变化，因为有loop invariant的性质2，find函数返回值
为j有：c[j-1]<a[i]<=c[j],这说明c[j-1]是小于a[i]的，且以c[j-1]结尾的递增子序列有最大的
长度，即为j-1,把a[i]接在c[j-1]后可得到以a[i]结尾的最长递增子序列，长度为(j-1)+1=j;
termination: 循环完后，i=n-1,b[0],b[1],...,b[n-1]的值均已求出，即以a[0],a[1],...,a[n-1]结尾的最长递
增子序列的长度均已求出，再通过第8行的循环，即求出了整个数组的最长递增子序列。
仔细分析上面的代码可以发现，每次循环结束后，假设已经求出c[1],c[2],c[3],...,c[len]的值，则此时最长递增子序列的长度为 len,因此可以把上面的代码更加简化，即可以不需要数组b来辅助存储，第8行的循环也可以省略。
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 int find(int *a,int len,int n)//修改后的二分查找，若返回值为x，则a[x]>=n 4 { 5 int left=0,right=len,mid=(left+right)/2; 6 while(left<=right) 7 { 8 if(n>a[mid]) left=mid+1; 9 else if(n<a[mid]) right=mid-1; 10 else return mid; 11 mid=(left+right)/2; 12 } 13 return left; 14 } 15 16 int main(void) 17 { 18 int n,a[100],c[100],i,j,len;//新开一变量len,用来储存每次循环结束后c中已经求出值的元素的最大下标 19 while(cin>>n) 20 { 21 for(i=0;i<n;i++) 22 cin>>a[i]; 23 b[0]=1; 24 c[0]=-1; 25 c[1]=a[0]; 26 len=1;//此时只有c[1]求出来，最长递增子序列的长度为1. 27 for(i=1;i<n;i++) 28 { 29 j=find(c,len,a[i]); 30 c[j]=a[i]; 31 if(j>len)//要更新len,另外补充一点：由二分查找可知j只可能比len大1 32 len=j;//更新len 33 } 34 cout<<len<<endl; 35 } 36 return 0; 37 }