POJ-2479 Maximum sum

很久没接触ACM题偶尔看到了做一道。

原题的详见POJ-2479。

此题看起来最简单的想法肯定是枚举S1,t1,s2,t2。显然的，这种枚举方法是不可行的。那么就需要一些其他的方式。

初看我们知道了t1<s2这条信息，也就是说，如果我们把数据源拆成两份进行二分，那么我们可以将枚举的复杂度缩小到原来的一半。既然如此，那么我们计算中还会遇到什么值呢?对的，是累加和，既然使用累加函数来进行计算，那么从一个数A到另一个数B的累加和是永远不变的，这个数据可以复用。

如果只考虑累加和的计算，我们需要O(N^2)的复杂度。但是，看题目我们求的是max，所以可以使用动态规划求出最大解。

最后枚举一个t1或者S2就可以获得最终结果。

（本想写怎么思考的，然而这东西果然很难）

下面是方法：

动态转移方程：f(i) = max{f[i - 1] + a[i], a[i]}， max(i) = max{max[i-1], f[i]}

其中f(i)求的是包含a[i]在内的最大连续累加和，max(i)求的是从第一个数到第i个数，最大的累加和。

由于有两段，所以需要求f和max的逆序，也就是从N倒序开始的累加值，记为fre和maxre。

最终结果就是对枚举t1。求max[t1]+maxre[t1+1]的最大值。

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

int df(){
  int n;
  scanf("%d", &n);
  int j;
  int a[50001], f[50001], fre[50001];
  int max[50001], maxre[50001];
  for(j = 1; j <= n; j++){
    scanf("%d", &a[j]);
  }
  f[1] = a[1];
  fre[n] = a[n];
  for(j = 2; j <= n; j++){
    f[j] = a[j];
    if ((f[j-1] + a[j]) > f[j]) f[j] = f[j-1] + a[j];
  }
  max[1] = f[1];
//  printf("%d f[j]=%d max[j]=%d
", 1, f[1], max[1]);
  for(j = 2; j <=n; j++){
    if (f[j] > max[j - 1]) max[j] = f[j];
    else max[j] = max[j - 1];
//    printf("%d f[j]=%d max[j]=%d
", j, f[j], max[j]);
  }
//  printf("
");

  for(j = n - 1; j >= 1; j--){
    fre[j] = a[j];
    if ((fre[j+1] + a[j]) > fre[j]) fre[j] = fre[j+1] + a[j];
  }  
  
  maxre[n] = fre[n];
//  printf("%d fre[j]=%d maxre[j]=%d
", n, fre[n], maxre[n]);
  for(j = n - 1; j >= 1; j--){
    if (fre[j] > maxre[j + 1]) maxre[j] = fre[j];
    else maxre[j] = maxre[j + 1];
//    printf("%d fre[j]=%d maxre[j]=%d
", j, fre[j], maxre[j]);
  }
  
  int t1, maxd;
  maxd = max[1] + maxre[2];
  for(t1 = 2; t1 < n; t1++)
    if ((max[t1] + maxre[t1 + 1]) > maxd)
      maxd = max[t1] + maxre[t1 + 1];
  printf("%d
", maxd);
}

int main(){
  int t;
  scanf("%d", &t);
  int i;
  for (i = 0; i < t; i++){
    df();
  }
  return 0;
}