POJ-1088 滑雪 （包含部分自用测试数据）

这题最简单的想法是深搜+记录，由于数据量比较小。这么做可以AC。如果在h大的情况下这种递归方法总会有一些问题。

如果转换一下，这个可以使用递推来解决，先对高度进行由低到高的排序，然后顺序对这些高度计算路径长度，可以通过数学归纳法证明此方法的合理性：

1、首先我们来考虑：一个高度如果是最小，那么由它开始的最长路径必然是1。因为它只能走到自己。

2、那么考虑高度第二小的值，首先它只比最小的那个高，那我们可以得出结论，如果它周围有最小的那个值，那么由它开始的路径长度是2，如果周围没有比它小的，那么路径长度为1。

假设N=m时，所有等于m或者比m小的高度都计算完最长路径，所有比m大的都还未被计算。那么当N=m+1时，记此高度的坐标为row,column，计算完的最长路径存放在way[r][c]中(way[i][j]初始值为-1)。

则way[row-1][column], way[row+1][column], way[row][column-1], way[row][column+1]4个相邻节点中，如果有way[x][y] + 1 > way[row][column]，那么说明此节点的高度<=m+1，判断高度，如果小于则可以从[row,column]滑到[x,y]，如果way[x][y]==-1，那么说明[x,y]点大于或等于[row,column]，即使以后计算得出结果，也不能从[row,column]滑到[x,y]，所以对[row,column]节点来讲，当前计算的最远路径满足完备性。可以根据之前计算的前m个高度获得最优解结果。

所以伪代码如下：

for (int i = 0; i < r*c; i++){
  找到h[i]对应的坐标
  依次判断周围四个点的最长路径和高度
  得出当前坐标的结果
}

这种方式的复杂度是：排序阶段O(NlogN)，计算阶段是O(4N)，所以总的复杂度是O(NlogN)，在这个计算方式下数据范围远不止10000。

几个测试数据：

2 3

1 2 3

4 5 6

3 3

6 6 6 

6 6 6 

6 6 6

1 5

3 2 4 3 2

想了想还是贴个深搜吧，毕竟简单。

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

int a[102][102], way[102][102];
int r, c;
const int maxint = 1000001;

int findway(int i, int j){
  if (way[i][j] > 0) return way[i][j];
  if (a[i-1][j] < a[i][j])
    if (findway(i-1,j)+1 > way[i][j])
      way[i][j] = way[i-1][j]+1; 
  if (a[i+1][j] < a[i][j])
    if (findway(i+1,j)+1 > way[i][j])
      way[i][j] = way[i+1][j]+1;
  if (a[i][j-1] < a[i][j])
    if (findway(i,j-1)+1 > way[i][j])
      way[i][j] = way[i][j-1]+1;
  if (a[i][j+1] < a[i][j])
    if (findway(i,j+1)+1 > way[i][j])
      way[i][j] = way[i][j+1]+1;
  //printf("i=%d j=%d way=%d
", i, j, way[i][j]);
  return way[i][j];
}

int main(){
  int i, j, maxl;
  maxl = 0;
  scanf("%d %d", &r, &c);
  for (i = 0; i <= r+1; i++)
    for (j = 0; j <= c+1; j++)
      a[i][j] = maxint;
  for (i = 1; i <= r; i++)
    for (j = 1; j <= c; j++){
      scanf("%d", &a[i][j]);
      way[i][j] = -1;
    }
  for (i = 1; i <=r; i++)
    for (j = 1; j <= c; j++){
      if ((a[i-1][j] >= a[i][j])&&(a[i+1][j] >= a[i][j])&&(a[i][j-1] >= a[i][j])&&(a[i][j+1] >= a[i][j]))
        way[i][j] = 1;
    }
  for (i = 1; i <= r; i++)
    for (j = 1; j <= c; j++){
      if (maxl < findway(i, j)) maxl = way[i][j];
    }
  printf("%d
", maxl);
}