openGL 坐标系的互相转换

openGL坐标系包括旋转，平移，缩放被塞在一个矩阵里面。

坐标系之间的转换基础是矩阵的运算。

每个矩阵代表的坐标系，就是是原点坐标系通过旋转。平移，缩放得到的坐标系。

当一个矩阵右乘一个向量或是还有一个矩阵，意味着把右边的变换。变成相对于左边的矩阵坐标系之上。

假设把一个世界坐标的X转换到一个矩阵上，我们能够矩阵右乘这个坐标：

static float multiplyMX(Matrix4* matrix, float x) {
	return matrix->m[0] * x + matrix->m[4] + matrix->m[8] + matrix->m[12];
}

假设把一个世界坐标Y转换到一个矩阵上。我们能够矩阵右乘这个坐标：

static float multiplyMY(Matrix4* matrix, float y) {
	return matrix->m[1] + matrix->m[5] * y + matrix->m[9] + matrix->m[13];
}

假设把一个世界坐标点转换到一个矩阵上，我们能够矩阵右乘这个点：

static void multiplyMV4(Matrix4* matrix, float x, float y, float z, float w, Out(Vector4* result)) {
	result->v[0] = matrix->m[0] * x + matrix->m[4] * y + matrix->m[8]  * z + matrix->m[12] * w;
	result->v[1] = matrix->m[1] * x + matrix->m[5] * y + matrix->m[9]  * z + matrix->m[13] * w;
	result->v[2] = matrix->m[2] * x + matrix->m[6] * y + matrix->m[10] * z + matrix->m[14] * w;
	result->v[3] = matrix->m[3] * x + matrix->m[7] * y + matrix->m[11] * z + matrix->m[15] * w;
}


static void multiplyMV3(Matrix4* matrix, float x, float y, float z, Out(Vector3* result)) {
	result->v[0] = matrix->m[0] * x + matrix->m[4] * y + matrix->m[8]  * z + matrix->m[12];
	result->v[1] = matrix->m[1] * x + matrix->m[5] * y + matrix->m[9]  * z + matrix->m[13];
	result->v[2] = matrix->m[2] * x + matrix->m[6] * y + matrix->m[10] * z + matrix->m[14];
}


static void multiplyMV2(Matrix4* matrix, float x, float y, Out(Vector2* result)) {
	result->v[0] = matrix->m[0] * x + matrix->m[4] * y + matrix->m[8] + matrix->m[12];
	result->v[1] = matrix->m[1] * x + matrix->m[5] * y + matrix->m[9] + matrix->m[13];
}

假设把一个世界坐标系转换到一个矩阵上，我们矩阵右乘这个矩阵：

static void multiplyMM(Matrix4* left, Matrix4* right, Out(Matrix4* result)) {
  result->m[0]  = left->m[0] * right->m[0]  + left->m[4] * right->m[1]  + left->m[8]  * right->m[2]  + left->m[12] * right->m[3];
  result->m[1]  = left->m[1] * right->m[0]  + left->m[5] * right->m[1]  + left->m[9]  * right->m[2]  + left->m[13] * right->m[3];
  result->m[2]  = left->m[2] * right->m[0]  + left->m[6] * right->m[1]  + left->m[10] * right->m[2]  + left->m[14] * right->m[3];
  result->m[3]  = left->m[3] * right->m[0]  + left->m[7] * right->m[1]  + left->m[11] * right->m[2]  + left->m[15] * right->m[3];

  result->m[4]  = left->m[0] * right->m[4]  + left->m[4] * right->m[5]  + left->m[8]  * right->m[6]  + left->m[12] * right->m[7];
  result->m[5]  = left->m[1] * right->m[4]  + left->m[5] * right->m[5]  + left->m[9]  * right->m[6]  + left->m[13] * right->m[7];
  result->m[6]  = left->m[2] * right->m[4]  + left->m[6] * right->m[5]  + left->m[10] * right->m[6]  + left->m[14] * right->m[7];
  result->m[7]  = left->m[3] * right->m[4]  + left->m[7] * right->m[5]  + left->m[11] * right->m[6]  + left->m[15] * right->m[7];

  result->m[8]  = left->m[0] * right->m[8]  + left->m[4] * right->m[9]  + left->m[8]  * right->m[10] + left->m[12] * right->m[11];
  result->m[9]  = left->m[1] * right->m[8]  + left->m[5] * right->m[9]  + left->m[9]  * right->m[10] + left->m[13] * right->m[11];
  result->m[10] = left->m[2] * right->m[8]  + left->m[6] * right->m[9]  + left->m[10] * right->m[10] + left->m[14] * right->m[11];
  result->m[11] = left->m[3] * right->m[8]  + left->m[7] * right->m[9]  + left->m[11] * right->m[10] + left->m[15] * right->m[11];

  result->m[12] = left->m[0] * right->m[12] + left->m[4] * right->m[13] + left->m[8]  * right->m[14] + left->m[12] * right->m[15];
  result->m[13] = left->m[1] * right->m[12] + left->m[5] * right->m[13] + left->m[9]  * right->m[14] + left->m[13] * right->m[15];
  result->m[14] = left->m[2] * right->m[12] + left->m[6] * right->m[13] + left->m[10] * right->m[14] + left->m[14] * right->m[15];
  result->m[15] = left->m[3] * right->m[12] + left->m[7] * right->m[13] + left->m[11] * right->m[14] + left->m[15] * right->m[15];
}

这就是利用矩阵， 把一个世界坐标系的坐标，转换到局部坐标系的方法。

那么。怎样把一个局部坐标系转换到世界坐标系呢？

这里须要得到局部坐标系相应矩阵的逆矩阵，这个矩阵包括了还原矩阵操作的变换。

然后，把逆矩阵当做左边的矩阵，去右乘局部坐标点， 我们就能够得到局部坐标变成世界坐标后的坐标。

static bool tryInvert(Matrix4* matrix, Out(Matrix4* result)) {
    float a0 = matrix->m[0]  * matrix->m[5]  - matrix->m[1]  * matrix->m[4];
    float a1 = matrix->m[0]  * matrix->m[6]  - matrix->m[2]  * matrix->m[4];
    float a2 = matrix->m[0]  * matrix->m[7]  - matrix->m[3]  * matrix->m[4];
    float a3 = matrix->m[1]  * matrix->m[6]  - matrix->m[2]  * matrix->m[5];
    float a4 = matrix->m[1]  * matrix->m[7]  - matrix->m[3]  * matrix->m[5];
    float a5 = matrix->m[2]  * matrix->m[7]  - matrix->m[3]  * matrix->m[6];

    float b0 = matrix->m[8]  * matrix->m[13] - matrix->m[9]  * matrix->m[12];
    float b1 = matrix->m[8]  * matrix->m[14] - matrix->m[10] * matrix->m[12];
    float b2 = matrix->m[8]  * matrix->m[15] - matrix->m[11] * matrix->m[12];
    float b3 = matrix->m[9]  * matrix->m[14] - matrix->m[10] * matrix->m[13];
    float b4 = matrix->m[9]  * matrix->m[15] - matrix->m[11] * matrix->m[13];
    float b5 = matrix->m[10] * matrix->m[15] - matrix->m[11] * matrix->m[14];

    // Calculate the determinant.
    float det = a0 * b5 - a1 * b4 + a2 * b3 + a3 * b2 - a4 * b1 + a5 * b0;

    // Close to zero, can't invert.
    if (fabs(det) < FLT_EPSILON) {
    	 return false;
	}

    float scalar   = 1.0f / det;

    // Support the case where matrix == result

    result->m[0]   = ( matrix->m[5]  * b5 - matrix->m[6]  * b4 + matrix->m[7]  * b3) * scalar;
    result->m[1]   = (-matrix->m[1]  * b5 + matrix->m[2]  * b4 - matrix->m[3]  * b3) * scalar;
    result->m[2]   = ( matrix->m[13] * a5 - matrix->m[14] * a4 + matrix->m[15] * a3) * scalar;
    result->m[3]   = (-matrix->m[9]  * a5 + matrix->m[10] * a4 - matrix->m[11] * a3) * scalar;

    result->m[4]   = (-matrix->m[4]  * b5 + matrix->m[6]  * b2 - matrix->m[7]  * b1) * scalar;
    result->m[5]   = ( matrix->m[0]  * b5 - matrix->m[2]  * b2 + matrix->m[3]  * b1) * scalar;
    result->m[6]   = (-matrix->m[12] * a5 + matrix->m[14] * a2 - matrix->m[15] * a1) * scalar;
    result->m[7]   = ( matrix->m[8]  * a5 - matrix->m[10] * a2 + matrix->m[11] * a1) * scalar;

    result->m[8]   = ( matrix->m[4]  * b4 - matrix->m[5]  * b2 + matrix->m[7]  * b0) * scalar;
    result->m[9]   = (-matrix->m[0]  * b4 + matrix->m[1]  * b2 - matrix->m[3]  * b0) * scalar;
    result->m[10]  = ( matrix->m[12] * a4 - matrix->m[13] * a2 + matrix->m[15] * a0) * scalar;
    result->m[11]  = (-matrix->m[8]  * a4 + matrix->m[9]  * a2 - matrix->m[11] * a0) * scalar;

    result->m[12]  = (-matrix->m[4]  * b3 + matrix->m[5]  * b1 - matrix->m[6]  * b0) * scalar;
    result->m[13]  = ( matrix->m[0]  * b3 - matrix->m[1]  * b1 + matrix->m[2]  * b0) * scalar;
    result->m[14]  = (-matrix->m[12] * a3 + matrix->m[13] * a1 - matrix->m[14] * a0) * scalar;
    result->m[15]  = ( matrix->m[8]  * a3 - matrix->m[9]  * a1 + matrix->m[10] * a0) * scalar;

    return true;
}

是的有些矩阵是没有逆矩阵的，所以求逆矩阵的操作会失败。

世界坐标系的意义，就是坐标是相对于原点坐标系的。

局部坐标系的意义。就是坐标不是相对于原点坐标系。而是相对于某个详细的坐标系。

局部坐标系是能够通过上面的方法互相转换的。

那么怎样在局部坐标系之间互相转换呢？

我们无法把一个局部坐标系的坐标，一次就变化成还有一个局部坐标系上。

由于两个不同的局部坐标的坐标。都是相对于各自的坐标系。也就是參考系不同。

但。我们能够，把一个局部坐标系，转换到世界坐标系。以后再从世界坐标系转换到还有一个局部坐标系上。

坐标系转换的意义是什么？

假设我们可以恰当的选取坐标系。在进行坐标计算的时候，会简化非常多运算和思考的模型。

由于一个物体坐标的变化总是在父类坐标之内的，也就是相对于父类坐标系去变化。

这个父类坐标系。要么世界坐标系，要么就是某个详细的坐标系。

而我们这里讨论的坐标转换的模型是这种。

一个坐标终于呈如今屏幕上，我们假设改动了坐标的父坐标系，通过坐标系的转化。而保持这个坐标终于呈现的位置不变。

打一个例如

假设一个坐标(0, 0)在世界坐标系上，终于呈现出来的就是在(0, 0)点处。

我们如今把这个坐标，放到一个在(5, 5)处的坐标系内。这样这个坐标全部的数值都像相对于(5, 5)这个坐标系的。

那么，(0, 0)终于呈现的就是在(5, 5)处了，而不再原来的位置。

我们通过把这个坐标(0, 0)转换到(5, 5)的坐标系里，会得到新的坐标(-5, -5)这是相对于新坐标系的数值。

终于(-5, -5) 会呈如今(0, 0)的位置。

其实，在openGL绘制的时候。我们常常须要在各种不同的坐标系之间互相转换，可能是为了计算动画。可能是为了计算物理碰撞。