深度学习方法：受限玻尔兹曼机RBM（三）模型求解，Gibbs sampling

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接下来重点讲一下RBM模型求解方法。其有用的依旧是梯度优化方法，可是求解须要用到随机採样的方法。常见的有：Gibbs Sampling和对照散度(contrastive divergence, CD[8])算法。

RBM目标函数

如果给定的训练集合是S={vi}，总数是ns。当中每个样本表示为vi=(vi1,vi2,…,vinv)。且都是独立同分布i.i.d的。RBM採用最大似然预计，即最大化

lnLS=ln∏i=1nsP(vi)=∑i=1nslnP(vi)

參数表示为θ=(W,a,b)，因此统一的參数更新表达式为：

θ=θ+η∂lnLS∂θ

当中，η表示学习速率。因此，非常明显。仅仅要我们能够求解出參数的梯度，我们就能够求解RMB模型了。我们先考虑随意单个训练样本（v0）的情况，即

LS=lnP(v0)=ln(1Z∑he−E(v0,h))=ln∑he−E(v0,h)−ln∑v,he−E(v,h)

当中v表示随意的训练样本，而v0则表示一个特定的样本。

∂LS∂θ=∂lnP(v0)∂θ=∂∂θ(ln∑he−E(v0,h))−∂∂θ(ln∑v,he−E(v,h))=−1∑he−E(v0,h)∑he−E(v0,h)∂E(v0,h)∂θ+1∑v,he−E(v,h)∑v,he−E(v,h)∂E(v,h)∂θ=−∑hP(h|v0)∂E(v0,h)∂θ+∑v,hP(h,v)∂E(v,h)∂θ

（当中第3个等式左边内条件概率P(h|v0)，由于e−E(v0,h)∑he−E(v0,h)=e−E(v0,h)/Z∑he−E(v0,h)/Z=P(v0,h)P(v0)=P(h|v0)）

上面式子的两个部分的含义是期望——左边是梯度∂E(v0,h)∂θ在条件概率分布P(h|v0)下的期望；右边是梯度∂E(v,h)∂θ在联合概率分布P(h,v)下的期望。

要求前面的条件概率是比較easy一些的。而要求后面的联合概率分布是非常困难的，由于它包括了归一化因子Z（对全部可能的取值求和，连续的情况下是积分）。因此我们採用一些随机採样来近似求解。把上面式子再推导一步，能够得到。

∂LS∂θ=−∑hP(h|v0)∂E(v0,h)∂θ+∑vP(v)∑hP(h|v)∂E(v,h)∂θ

因此。我们重点就是须要就算∑hP(h|v)∂E(v,h)∂θ，特别的。针对參数W,a,b来说，有

∑hP(h|v)∂E(v,h)∂wij=−∑hP(h|v)hivj=−∑hP(hi|v)P(h−i|v)hivj=−∑hiP(hi|v)∑h−iP(h−i|v)hivj=−∑hiP(hi|v)hivj=−(P(hi=1|v)⋅1⋅vj+P(hi=0|v)⋅0⋅vj)=−P(hi=1|v)vj

相似的。我们能够非常easy得到：

∑hP(h|v)∂E(v,h)∂ai=−vi

∑hP(h|v)∂E(v,h)∂bj=−P(hi=1|v)

于是，我们非常easy得到，

∂lnP(v0)∂wij=−∑hP(h|v0)∂E(v0,h)∂wij+∑vP(v)∑hP(h|v)∂E(v,h)∂wij=P(hi=1|v0)v0j−∑vP(v)P(hi=1|v)vj

∂lnP(v0)∂ai=v0i−∑vP(v)vi

∂lnP(v0)∂bi=P(hi=1|v0)−∑vP(v)P(hi=1|v)

上面求出了一个样本的梯度。对于ns个样本有

∂LS∂wij=∑m=1ns[P(hi=1|vm)vmj−∑vP(v)P(hi=1|v)vj]

∂LS∂ai=∑m=1ns[vmi−∑vP(v)vi]

∂LS∂bi=∑m=1ns[P(hi=1|vm)−∑vP(v)P(hi=1|v)]

到这里就比較明白了，主要就是要求出上面三个梯度；可是由于不好直接求概率分布P(v)，前面分析过，计算复杂度非常大。因此採用一些随机採样的方法来得到近似的解。看这三个梯度的第二项实际上都是求期望，而我们知道。样本的均值是随机变量期望的无偏预计。

Gibbs Sampling

非常多资料都有提到RBM能够用Gibbs Sampling来做。可是详细怎么做不讲（是不是有点蛋疼？），可能非常多人也不清楚究竟怎么做。以下略微介绍一下。

吉布斯採样（Gibbs sampling），是MCMC方法的一种，详细能够看我前面整理的随机採样MCMC的文章。

总的来说，Gibbs採样能够从一个复杂概率分布P(X)下生成数据，仅仅要我们知道它每个分量的相对于其它分量的条件概率P(Xk|X−k)，就能够对其进行採样。

而RBM模型的特殊性。隐藏层神经元的状态仅仅受可见层影响（反之亦然），并且同一层神经元之间是相互独立的，那么就能够依据例如以下方法依次採样：

也就是说hi是以概率P(hi|v0)为1，其它的都相似。这样当我们迭代足够次以后。我们就能够得到满足联合概率分布P(v,h)下的样本(v,h)，当中样本(v)能够近似觉得是P(v)下的样本。下图也说明了这个迭代採样的过程：

有了样本(v)就能够求出上面写到的三个梯度（∂LS∂wij,∂LS∂ai,∂LS∂bi）了。用梯度上升就能够对參数进行更新了。（实际中，能够在k次迭代以后，得到样本集合{v}，比方迭代100次取后面一半，带入上面梯度公式的后半部分计算平均值。）

看起来非常简单是不是？可是问题是。每一次gibbs採样过程都须要重复迭代非常多次以保证马尔科夫链收敛。而这仅仅是一次梯度更新，多次梯度更新须要重复使用gibbs採样，使得算法执行效率非常低。为了加速RBM的训练过程，Hinton等人提出了对照散度（Contrastive Divergence）方法。大大加快了RBM的训练速度，将在下一篇重点讲一下。

OK。本篇先到这里。平时工作比較忙。加班什么的（IT的都这样）。晚上回到家比較晚。每天仅仅能挤一点点时间写。写的比較慢。见谅。RBM这一块能够看的资料非常多。网上一搜一大堆。还包括hinton的一些论文和Bengio的综述[9]。只是详细手写出来的思路还是借鉴了[7]。看归看。我会自己推导并用自己的语言写出来。大家有什么问题都能够留言讨论。下一篇最后讲一下CD算法。后面有时间再拿code出来剖析一下。

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參考资料
[1] http://www.chawenti.com/articles/17243.html
[2] 张春霞，受限波尔兹曼机简单介绍
[3] http://www.cnblogs.com/tornadomeet/archive/2013/03/27/2984725.html
[4] http://deeplearning.net/tutorial/rbm.html
[5] Asja Fischer, and Christian Igel，An Introduction to RBM
[6] G.Hinton, A Practical Guide to Training Restricted Boltzmann Machines
[7] http://blog.csdn.net/itplus/article/details/19168937
[8] G.Hinton, Training products of experts by minimizing contrastive divergence, 2002.
[9] Bengio, Learning Deep Architectures for AI, 2009