透视矩阵的推导（最直观、最深入、最还原，看完请点赞。）

由參数l,r,b,t,n,f定义的透视投影矩阵的推导困惑了我差点儿相同一个多礼拜。这几天差点儿是天天都在思考这个问题。昨天晚上3点多钟我突然醒了，然后我又開始想这个问题，结果最终让我给想通了，于是我赶紧起床把这个思路记在了草稿纸上，还专门照了张照片作证。

为了解决问题，前几天我专门发了两篇帖子求答案，结果知网上的居然沉掉了。而在csdn上也没有得到答案（质疑有关透视投影矩阵的推导）。

幸亏我自己还是攻克了这个问题。
以下推导的是OpenGL中的透视投影矩阵。
已经知道由參数fovy,aspect,n,f定义的透视投影矩阵为：(有关这块的推导可见《3d graphics for game programming》 2.4.3 derivation of projection matrix，讲得很具体)
POpenGL=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜cot(fovy2)aspect0000cot(fovy2)0000−f+nf−n−100−2nff−n0⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
那么再看还有一种投影參数l,r,b,t,n,f，上面矩阵中：
cot(fovy2)aspect=cot(fovx2)=2nr−l,
cot(fovy2)=2nt−b.
由于參数l,r是相应视见空间中x轴的坐标，b,t相应视见空间中y轴的坐标，假设l=-r而且b=-t。那么由这样的參数定义的透视投影矩阵就是：
P′OpenGL=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜2nr−l00002nt−b0000−f+nf−n−100−2nff−n0⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟
而官方的透视投影矩阵是：
POpenGL=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜2nr−l00002nt−b00r+lr−lt+bt−b−f+nf−n−100−2nff−n0⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟
实际上这个矩阵是由两步转换完毕的，第一步是进行矩阵P′OpenGL变换，然后进行了平移操作。例如以下：

POpenGL=T×P′OpenGL=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜100001000010−r+lr−l−t+bt−b01⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟×⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜2nr−l00002nt−b0000−f+nf−n−100−2nff−n0⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜2nr−l00002nt−b00r+lr−lt+bt−b−f+nf−n−100−2nff−n0⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

那些说这个透视投影没有做平移这一步操作，我能够100%跟你说你是错的！

以下我来解释为什么进行了平移操作。
来张示意图：

这个是视见空间中的示意图。由于存在l≠-r或b≠-t的情况。所以这里我有益没把近裁剪平面中心画在z轴上。

示意图上由红线绘制的立方体才是由l,r,b,t,n,f參数定义的视锥体，当中远裁剪平面上的四个点分别相应原点eye经过近裁剪平面上四个点的延长线与z=-f平面的交点，注意这个视锥体是不规则的！

然后图中的标注l’, r’是近裁剪平面点(l,b,-n)和点(r,b,-n)x轴上的分量在z=−cot(fovx2)上的投影，l′=2lr−l。r′=2rr−l。l’和r’的中心值是r+lr−l。同理近裁剪平面上点(r,b,-n)和点(r,t,-n)y轴上的分量在z=−cot(fovy2)上的投影。b′=2bt−b，t′=2tt−b，b’和t’的中心值是t+bt−b。图中的视锥体通过P′OpenGL透视变换之后得到的是规则的正方体（左下角顶点(2lr−l,2bt−b,1)，右上角顶点(2rr−l,2tt−b,−1)）。最终要把它转换成cvv（canonical view volume，正规可视化空间）。则须要进行T平移转换，也就是平移(−r+lr−l,−t+bt−b,0)。得证。