安利好的博客
好迷平衡树这一块....
今天先学一些其中splay的一些简单操作吧！
平衡树属于二叉查找树的一种,简单定义是：对于任意一个节点而言：左儿子内的节点都比他小,而右节点都比它大..
例如此树：
这就是一个二叉查找树...
至于splay有什么神奇的奇特之处,嗯就是旋转....我们如果要将一个点x将其与父亲y调换以下的话.就可以避免贝卡成链的情况..
共有四种情况：
这是全部的四种情况,我们发现可以找规律：
1：x变为y在z中的位置.
2.y变为x在y中相反的位置.
3.x的 与x在y中位置 相同位置的儿子与x的位置关系不变.
4:x的 与x在y中位置 相反位置的儿子变成y中与原本在x中相同的位置的儿子.(真绕....)
5:y除x的3儿子与y的相对位置不变...
用代码就是这样的:
//其实旋转操作大体分三步： //1.将x提上去. //2.将x的与x在y中位置不相同的儿子给y. //3.y到x的与x在y中位置不相同的儿子的位置. inline void retate(int x) { int y=t[x].ff;//x的父亲 int z=t[y].ff;//y的父亲. int k=t[y].ch[1]==x;//x是y的哪一个儿子.0是左儿子,y是右儿子. t[z].ch[t[c].ch[1]==y]=x;//从上往下更新.原本y的位置由x顶替. t[x].ff=z;//x的父亲变成z t[y].ch[k]=t[x].ch[k^1];//先替换x中与x在y中位置相反的儿子.防止之后被覆盖. t[t[x].ch[k^1]].ff=y;//更新父亲节点. t[x].ch[k^1]=y;//x的与x在y中位置相反的儿子变成y. t[y].ff=x; //更新父亲节点. }
多画图,多动手,你会恍然大悟的...
这就是基本操作了(大雾...)
接下来思考这样的问题:
如果我们要让x一直到某一个点的儿子怎么办,一直向上旋转吗？
例如下面东西：
我们发现这样确实是可以的,但有一个弊端,不知道你们发现了没有？x旋转前与旋转后,始终有x,y,z,b这条链,那如果在这条链上查找的话复杂度就可能被卡成O(n^2)的.这我们不能接受.
其实再画画图就会发现，(我真的累了..),总共才两种情况...
1.x和y所属位置与y和z所属位置相同...
2.....不同
发现第一种情况与上面的样例相同,我们可以先旋转y,再旋转x,第二种情况直接旋转x即可.
inline void splay(int x,int goal) { while(t[x].ff!=goal)//x一直旋转,直到是goal的儿子 { int y=t[x].ff,z=t[y].ff;//找到x的父亲,y的父亲. if(y!=goal) (t[y].ch[0]==x)^(t[z].ch[0]==y):retato(y)?retato(x);//分类讨论 retato(x);//最后都旋转x } if(goal==0) root=x;//更新根. }
好,到这里splay最核心的操作就完毕了,之后就是各个功能的应用.
首先是定义：
struct wy { int val;//权值 int ff;//父节点. int ch[2];//左右两个儿子.0是左儿子,1是右儿子. int cnt;//这个权值的节点出现的次数. int sum;//子节点的数量. };
插入操作：
当树为空时,直接新建一个节点即可.
树不空时,从根开始往下走.
inline int newpoint(int v,int fa) { t[++tot].ff=fa; t[tot].v=v; t[tot].sum=cnt=1; return tot; } inline void insert(int x) { int now=root; if(now==0) {root=newpoint(x,0);return;}//如果树为空. while(1) { t[now].sum++; //依次更新子树个数. if(t[now].val==x) {t[now].cnt++;splay(now,0);return;}//找到与x相同的值,累加一下数量. int next=x>t[now].val;//找到下一个去的方向. if(!t[now].ch[next])//如果找到最后没有相同的值,新建节点. { int p=newpoint(x,now); t[now].ch[next]=p; splay(p,root);return;//维护形态. } now=t[now].ch[next];//往下找. } }
查找数x的位置：
inline void find(int x) { int now=root; if(!now) return;
while(x!=v(now)&&t[now].ch[x>v(now)]) now=t[now].ch[x>v(now)];
splay(now,0);
}
查找前驱/后继：
(这是在提前加入了INF和-INF的前提下)
inline int Next(int x,int op) //找前驱0/后继1 { find(x); int now=root; if(v(now)>x&&op) return now;//如果不存在x的话,find函数实质上返回了一个x的前驱或后继. if(v(now)<x&&!op) return now;//所以这里就可以特判一些情况. now=t[now].ch[op];//之后的情况就是存在x或find找的值与我们期望的值不对等. while(t[now].ch[op^1]) now=t[now].ch[op^1];//(我们想要前驱,它找了后继,我们想要后继,它找了前驱.) return now; }
删除操作：
删除权值为x的数：
inline void Delete(int x) { int last=Next(x,0);//查找这个点的前驱 int next=Next(x,1);//查找这个点的后继 splay(last,0);splay(next,last);//将前驱搞到根.后继搞到前驱的右儿子. int del=t[next].ch[0];//此时比前驱大且比后继大,只有x. if(cnt(del)>=2) { cnt(del)--;//数量大于2,减少一 splay(del,0); } else t[next].ch[0]=0;//否则直接搞掉. }
查找第k大;
inline int kth(int x) { int now=root;//当前根节点. if(sum[x]<x) return 0;//不存在. while(1) { int y=t[now].ch[0];//左儿子. if(x>sum(y)+cnt(now))//左儿子里无排名第k大. { x-=sum(y)+cnt(now);//更新排名. now=t[now].ch[1];//到右儿子上 } else if(sum(y)>=x) now=y;//到左儿子 else return v(now);//放回这个节点. } }