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NumPy 数值计算基础课程
介绍
如果你使用 Python 语言进行科学计算，那么一定会接触到 NumPy。NumPy 是支持 Python 语言的数值计算扩充库，其拥有强大的多维数组处理与矩阵运算能力。除此之外，NumPy 还内建了大量的函数，方便你快速构建数学模型。
知识点
- 数值类型及多维数组
- 数组操作及随机抽样
- 数学函数及代数运算
- 数组索引及其他用法
NumPy 的英文全称为 Numerical Python，意味 Python 面向数值计算的第三方库。NumPy 的特点在于，针对 Python 内建的数组类型做了扩充，支持更高维度的数组和矩阵运算，以及更丰富的数学函数。
NumPy 是 Scipy.org 中最重要的库之一，它同时也被 Pandas，Matplotlib 等我们熟知的第三方库作为核心计算库。当你在单独安装这些库时，你会发现同时会安装 NumPy 作为依赖。
NumPy 数组类型
我们先来了解 NumPy 支持的数据类型。Python 本身支持的数值类型有 int（整型，Python 2 中存在 long 长整型）、float（浮点型）、bool（布尔型） 和 complex（复数型）。
而 NumPy 支持比 Python 本身更为丰富的数值类型，细分如下：
| 类型 | 解释 |
|---|---|
| bool | 布尔类型，1 个字节，值为 True 或 False。 |
| int | 整数类型，通常为 int64 或 int32 。 |
| intc | 与 C 里的 int 相同，通常为 int32 或 int64。 |
| intp | 用于索引，通常为 int32 或 int64。 |
| int8 | 字节（从 -128 到 127） |
| int16 | 整数（从 -32768 到 32767） |
| int32 | 整数（从 -2147483648 到 2147483647） |
| int64 | 整数（从 -9223372036854775808 到 9223372036854775807） |
| uint8 | 无符号整数（从 0 到 255） |
| uint16 | 无符号整数（从 0 到 65535） |
| uint32 | 无符号整数（从 0 到 4294967295） |
| uint64 | 无符号整数（从 0 到 18446744073709551615） |
| float | float64 的简写。 |
| float16 | 半精度浮点，5 位指数，10 位尾数 |
| float32 | 单精度浮点，8 位指数，23 位尾数 |
| float64 | 双精度浮点，11 位指数，52 位尾数 |
| complex | complex128 的简写。 |
| complex64 | 复数，由两个 32 位浮点表示。 |
| complex128 | 复数，由两个 64 位浮点表示。 |
在 NumPy 中，上面提到的这些数值类型都被归于 dtype（data-type） 对象的实例。
我们可以用 numpy.dtype(object, align, copy) 来指定数值类型。而在数组里面，可以用 dtype= 参数。
下面，我们就开始学习 NumPy，首先需要导入 NumPy。
import numpy as np # 导入 NumPy 模块
a = np.array([1.1, 2.2, 3.3], dtype=np.float64) # 指定 1 维数组的数值类型为 float64
a, a.dtype # 查看 a 及 dtype 类型
(array([1.1, 2.2, 3.3]), dtype('float64'))
你可以使用 .astype() 方法在不同的数值类型之间相互转换。
a.astype(int).dtype # 将 a 的数值类型从 float64 转换为 int，并查看 dtype 类型
dtype('int32')
NumPy 数组生成
在 Python 内建对象中，数组有三种形式：
- 列表：
[1, 2, 3] - 元组：
(1, 2, 3, 4, 5) - 字典：
{A:1, B:2}
其中，元组与列表相似，不同之处在于元组的元素不能修改。而字典由键和值构成。python 标准类针对数组的处理局限于 1 维，并仅提供少量的功能。而 NumPy 最核心且最重要的一个特性就是 ndarray 多维数组对象，它区别于 Python 的标准类，拥有对高维数组的处理能力，这也是数值计算过程中缺一不可的重要特性。
NumPy 中，ndarray 类具有六个参数，它们分别为：
shape：数组的形状。dtype：数据类型。buffer：对象暴露缓冲区接口。offset：数组数据的偏移量。strides：数据步长。order：{'C'，'F'}，以行或列为主排列顺序。
下面，我们来了解创建 NumPy 多维数组的一些方法。在 NumPy 中，我们主要通过以下 5 种途径创建数组，它们分别是：
- 从 Python 数组结构列表，元组等转换。
- 使用
np.arange、np.ones、np.zeros等 NumPy 原生方法。 - 从存储空间读取数组。
- 通过使用字符串或缓冲区从原始字节创建数组。
- 使用特殊函数，如
random。
列表或元组转换
在 NumPy 中，我们使用 numpy.array 将列表或元组转换为 ndarray 数组。其方法为：
numpy.array(object, dtype=None, copy=True, order=None, subok=False, ndmin=0)
其中，参数：
object：列表、元组等。dtype：数据类型。如果未给出，则类型为被保存对象所需的最小类型。copy：布尔类型，默认 True，表示复制对象。order：顺序。subok：布尔类型，表示子类是否被传递。ndmin：生成的数组应具有的最小维数。
下面，通过列表创建一个 ndarray 数组。
np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6]])
或者是列表和元组。
np.array([(1, 2), (3, 4), (5, 6)])
array([[1, 2],
[3, 4],
[5, 6]])
arange 方法创建
除了直接使用 array 方法创建 ndarray，在 NumPy 中还有一些方法可以创建一些有规律性的多维数。首先，我们来看一看 arange()。arange() 的功能是在给定区间内创建一系列均匀间隔的值。方法如下：
numpy.arange(start, stop, step, dtype=None)
你需要先设置值所在的区间 [开始， 停止)，这是一个半开半闭区间。然后，在设置 step 步长用于设置值之间的间隔。最后的可选参数 dtype 可以设置返回ndarray 的值类型。
# 在区间 [3, 7) 中以 0.5 为步长新建数组
np.arange(3, 7, 0.5, dtype='float32')
array([3. , 3.5, 4. , 4.5, 5. , 5.5, 6. , 6.5], dtype=float32)
linspace 方法创建
linspace 方法也可以像arange方法一样，创建数值有规律的数组。linspace 用于在指定的区间内返回间隔均匀的值。其方法如下：
numpy.linspace(start, stop, num=50, endpoint=True, retstep=False, dtype=None)
start：序列的起始值。stop：序列的结束值。num：生成的样本数。默认值为50。endpoint：布尔值，如果为真，则最后一个样本包含在序列内。retstep：布尔值，如果为真，返回间距。dtype：数组的类型。
np.linspace(0, 10, 10, endpoint=True)
array([ 0. , 1.11111111, 2.22222222, 3.33333333, 4.44444444,
5.55555556, 6.66666667, 7.77777778, 8.88888889, 10. ])
将 endpoint 参数改成 False 看看区别：
np.linspace(0, 10, 10, endpoint=False)
array([0., 1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9.])
ones 方法创建
numpy.ones 用于快速创建数值全部为 1 的多维数组。其方法如下：
numpy.ones(shape, dtype=None, order='C')
其中：
shape：用于指定数组形状，例如（1， 2）或 3。dtype：数据类型。order：{'C'，'F'}，按行或列方式储存数组。
np.ones((2, 3))
array([[1., 1., 1.],
[1., 1., 1.]])
zeros 方法创建
zeros 方法和上面的 ones 方法非常相似，不同的地方在于，这里全部填充为 0。zeros 方法和 ones 是一致的。
numpy.zeros(shape, dtype=None, order='C')
其中：
shape：用于指定数组形状，例如（1， 2）或3。dtype：数据类型。order：{'C'，'F'}，按行或列方式储存数组。
np.zeros((3, 2))
array([[0., 0.],
[0., 0.],
[0., 0.]])
eye 方法创建
numpy.eye 用于创建一个二维数组，其特点是 k 对角线上的值为 1，其余值全部为 0。方法如下：
numpy.eye(N, M=None, k=0, dtype=<type 'float'>)
其中：
N：输出数组的行数。M：输出数组的列数。k：对角线索引：0（默认）是指主对角线，正值是指上对角线，负值是指下对角线。
np.eye(5, 4, 3)
array([[0., 0., 0., 1.],
[0., 0., 0., 0.],
[0., 0., 0., 0.],
[0., 0., 0., 0.],
[0., 0., 0., 0.]])
从已知数据创建
我们还可以从已知数据文件、函数中创建 ndarray。NumPy 提供了下面 5 个方法：
frombuffer（buffer）：将缓冲区转换为1维数组。fromfile（file，dtype，count，sep）：从文本或二进制文件中构建多维数组。fromfunction（function，shape）：通过函数返回值来创建多维数组。fromiter（iterable，dtype，count）：从可迭代对象创建1维数组。fromstring（string，dtype，count，sep）：从字符串中创建1维数组。
np.fromfunction(lambda a, b: a + b, (5, 4))
array([[0., 1., 2., 3.],
[1., 2., 3., 4.],
[2., 3., 4., 5.],
[3., 4., 5., 6.],
[4., 5., 6., 7.]])
ndarray 数组属性
首先，我们创建一个 ndarray 数组，首先，新建 a 并随意设定为一个 2 维数组。
a = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
a # 查看 a 的值
array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9]])
ndarray.T 用于数组的转置，与 .transpose() 相同。
a.T
array([[1, 4, 7],
[2, 5, 8],
[3, 6, 9]])
ndarray.dtype 用来输出数组包含元素的数据类型。
a.dtype
dtype('int32')
ndarray.imag 用来输出数组包含元素的虚部。
a.imag
array([[0, 0, 0],
[0, 0, 0],
[0, 0, 0]])
ndarray.real用来输出数组包含元素的实部。
a.real
array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9]])
ndarray.size用来输出数组中的总包含元素数。
a.size
9
ndarray.itemsize输出一个数组元素的字节数。
a.itemsize
4
ndarray.nbytes用来输出数组的元素总字节数。
a.nbytes
36
ndarray.ndim用来输出数组维度。
a.ndim
2
ndarray.shape用来输出数组形状。
a.shape
(3, 3)
ndarray.strides用来遍历数组时，输出每个维度中步进的字节数组。
a.strides
(12, 4)
数组维度和形状
前面，我们已经对 NumPy 数组的类型和常用的生成方法进行了介绍。再继续了解更多内容前，必须先搞清楚一个重要的问题，那就是 NumPy 数组的维度和形状。
NumPy 数组又被称之为 ndarray 多维数组，那么 n 就可以从 1 维依次递增。下图，我们展示了 1 至 3 维的 NumPy 数组示例。
1 维数组可以被看作数学中的向量，2 维数组可以看作是矩阵，而 3 维数组则是一个数据立方。
接下来，我们尝试生成如图所示的示例数组。三维数组中部分数值无法从图示中获得，我们全部用 1 替代。
one = np.array([7, 2, 9, 10])
two = np.array([[5.2, 3.0, 4.5],
[9.1, 0.1, 0.3]])
three = np.array([[[1, 1], [1, 1], [1, 1]],
[[1, 1], [1, 1], [1, 1]],
[[1, 1], [1, 1], [1, 1]],
[[1, 1], [1, 1], [1, 1]]])
接下来，我们通过 .shape 属性查看 NumPy 数组的形状。
one.shape, two.shape, three.shape
((4,), (2, 3), (4, 3, 2))
你可以发现规律，.shape 得到的形状实际上是数组在每个轴 Axis 上面的元素数量，而 .shape 的长度的表明了数组的维度。
数组基本操作
至此，我们了解了如何利用 NumPy 创建各式各样的 ndarray，以及数组形状和维度的概念。接下来，我们将利用学会针对 ndarray 的各种花式操作技巧。
重设形状
reshape 可以在不改变数组数据的同时，改变数组的形状。其中，numpy.reshape() 等效于 ndarray.reshape()。reshape 方法非常简单：
numpy.reshape(a, newshape)
其中，a 表示原数组，newshape 用于指定新的形状(整数或者元组)。
np.arange(10).reshape((5, 2))
array([[0, 1],
[2, 3],
[4, 5],
[6, 7],
[8, 9]])
数组展开
ravel 的目的是将任意形状的数组扁平化，变为 1 维数组。ravel 方法如下：
numpy.ravel(a, order='C')
其中，a 表示需要处理的数组。order 表示变换时的读取顺序，默认是按照行依次读取，当 order='F' 时，可以按列依次读取排序。
a = np.arange(10).reshape((2, 5))
a
array([[0, 1, 2, 3, 4],
[5, 6, 7, 8, 9]])
np.ravel(a)
array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])
np.ravel(a, order='F')
array([0, 5, 1, 6, 2, 7, 3, 8, 4, 9])
轴移动
moveaxis 可以将数组的轴移动到新的位置。其方法如下：
numpy.moveaxis(a, source, destination)
其中：
a：数组。source：要移动的轴的原始位置。destination：要移动的轴的目标位置。
a = np.ones((1, 2, 3))
np.moveaxis(a, 0, -1)
array([[[1.],
[1.],
[1.]],
[[1.],
[1.],
[1.]]])
你可能没有看明白是什么意思，我们可以输出二者的 shape 属性：
a.shape, np.moveaxis(a, 0, -1).shape
((1, 2, 3), (2, 3, 1))
轴交换
和 moveaxis 不同的是，swapaxes 可以用来交换数组的轴。其方法如下：
numpy.swapaxes(a, axis1, axis2)
其中：
a：数组。axis1：需要交换的轴 1 位置。axis2：需要与轴 1 交换位置的轴 1 位置。
a = np.ones((1, 4, 3))
np.swapaxes(a, 0, 2)
array([[[1.],
[1.],
[1.],
[1.]],
[[1.],
[1.],
[1.],
[1.]],
[[1.],
[1.],
[1.],
[1.]]])
数组转置
transpose 类似于矩阵的转置，它可以将 2 维数组的横轴和纵轴交换。其方法如下：
numpy.transpose(a, axes=None)
其中：
a：数组。axis：该值默认为none，表示转置。如果有值，那么则按照值替换轴。
a = np.arange(4).reshape(2, 2)
np.transpose(a)
array([[0, 2],
[1, 3]])
维度改变
atleast_xd 支持将输入数据直接视为 x 维。这里的 x 可以表示：1，2，3。方法分别为：
numpy.atleast_1d()
numpy.atleast_2d()
numpy.atleast_3d()
print(np.atleast_1d([1, 2, 3]))
print(np.atleast_2d([4, 5, 6]))
print(np.atleast_3d([7, 8, 9]))
[1 2 3]
[[4 5 6]]
[[[7]
[8]
[9]]]
类型转换
在 NumPy 中，还有一系列以 as 开头的方法，它们可以将特定输入转换为数组，亦可将数组转换为矩阵、标量，ndarray 等。如下：
asarray(a，dtype，order)：将特定输入转换为数组。asanyarray(a，dtype，order)：将特定输入转换为ndarray。asmatrix(data，dtype)：将特定输入转换为矩阵。asfarray(a，dtype)：将特定输入转换为float类型的数组。asarray_chkfinite(a，dtype，order)：将特定输入转换为数组，检查NaN或infs。asscalar(a)：将大小为 1 的数组转换为标量。
这里以 asmatrix(data，dtype) 方法举例：
a = np.arange(4).reshape(2, 2)
np.asmatrix(a) # 将二维数组转化为矩阵类型
matrix([[0, 1],
[2, 3]])
数组连接
concatenate 可以将多个数组沿指定轴连接在一起。其方法为：
numpy.concatenate((a1, a2, ...), axis=0)
其中：
(a1, a2, ...)：需要连接的数组。axis：指定连接轴。
a = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
b = np.array([[7, 8], [9, 10]])
c = np.array([[11, 12]])
np.concatenate((a, b, c), axis=0)
array([[ 1, 2],
[ 3, 4],
[ 5, 6],
[ 7, 8],
[ 9, 10],
[11, 12]])
这里，我们可以尝试沿着横轴连接。但要保证连接处的维数一致，所以这里用到了 .T 转置。
a = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
b = np.array([[7, 8, 9]])
np.concatenate((a, b.T), axis=1)
array([[1, 2, 7],
[3, 4, 8],
[5, 6, 9]])
数组堆叠
在 NumPy 中，以下方法可用于数组的堆叠：
stack(arrays，axis)：沿着新轴连接数组的序列。column_stack()：将 1 维数组作为列堆叠到 2 维数组中。hstack()：按水平方向堆叠数组。vstack()：按垂直方向堆叠数组。dstack()：按深度方向堆叠数组。
这里以 stack(arrays，axis) 方法举例：
a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])
np.stack((a, b))
array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6]])
当然，也可以横着堆叠。
np.stack((a, b), axis=-1)
array([[1, 4],
[2, 5],
[3, 6]])
拆分
split 及与之相似的一系列方法主要是用于数组的拆分，列举如下：
split(ary，indices_or_sections，axis)：将数组拆分为多个子数组。dsplit(ary，indices_or_sections)：按深度方向将数组拆分成多个子数组。hsplit(ary，indices_or_sections)：按水平方向将数组拆分成多个子数组。vsplit(ary，indices_or_sections)：按垂直方向将数组拆分成多个子数组。
下面，我们看一看 split 到底有什么效果：
a = np.arange(10)
np.split(a, 5)
[array([0, 1]), array([2, 3]), array([4, 5]), array([6, 7]), array([8, 9])]
除了 1 维数组，更高维度也是可以直接拆分的。例如，我们可以将下面的数组按行拆分为 2。
a = np.arange(10).reshape(2, 5)
np.split(a, 2)
[array([[0, 1, 2, 3, 4]]), array([[5, 6, 7, 8, 9]])]
NumPy 中还有针对数组元素添加或移除的一些方法。
删除
首先是 delete 删除：
delete(arr，obj，axis)：沿特定轴删除数组中的子数组。
a = np.arange(12).reshape(3, 4)
np.delete(a, 2, 1)
array([[ 0, 1, 3],
[ 4, 5, 7],
[ 8, 9, 11]])
这里代表沿着横轴，将第 3 列(索引 2)删除。当然，你也可以沿着纵轴，将第三行删除。
np.delete(a, 2, 0)
array([[0, 1, 2, 3],
[4, 5, 6, 7]])
数组插入
再看一看 insert 插入，用法和 delete 很相似，只是需要在第三个参数位置设置需要插入的数组对象：
insert(arr，obj，values，axis)：依据索引在特定轴之前插入值。
a = np.arange(12).reshape(3, 4)
b = np.arange(4)
np.insert(a, 2, b, 0)
array([[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 0, 1, 2, 3],
[ 8, 9, 10, 11]])
附加
append 的用法也非常简单。只需要设置好需要附加的值和轴位置就好了。它其实相当于只能在末尾插入的 insert，所以少了一个指定索引的参数。
append(arr，values，axis)：将值附加到数组的末尾，并返回 1 维数组。
a = np.arange(6).reshape(2, 3)
b = np.arange(3)
np.append(a, b)
array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 0, 1, 2])
注意 append 方法返回值，默认是展平状态下的 1 维数组。
重设尺寸
resize 就很好理解了，直接举例子吧：
resize(a，new_shape)：对数组尺寸进行重新设定。
a = np.arange(10)
a.resize(2, 5)
a
array([[0, 1, 2, 3, 4],
[5, 6, 7, 8, 9]])
你可能会纳闷了，这个 resize 看起来和上面的 reshape 一样呢，都是改变数组原有的形状。
其实，它们是有区别的，区别在于对原数组的影响。reshape 在改变形状时，不会影响原数组，相当于对原数组做了一份拷贝。而 resize 则是对原数组执行操作。
翻转数组
在 NumPy 中，我们还可以对数组进行翻转操作：
fliplr(m)：左右翻转数组。flipud(m)：上下翻转数组。
a = np.arange(16).reshape(4, 4)
print(np.fliplr(a))
print(np.flipud(a))
[[ 3 2 1 0]
[ 7 6 5 4]
[11 10 9 8]
[15 14 13 12]]
[[12 13 14 15]
[ 8 9 10 11]
[ 4 5 6 7]
[ 0 1 2 3]]
NumPy 随机数
NumPy 的随机数功能非常强大，主要由 numpy.random 模块完成。
首先，我们需要了解如何使用 NumPy 也就是生成一些满足基本需求的随机数据。主要由以下一些方法完成：
numpy.random.rand(d0, d1, ..., dn) 方法的作用为：指定一个数组，并使用 [0, 1) 区间随机数据填充，这些数据均匀分布。
np.random.rand(2, 5)
array([[0.9987542 , 0.37506999, 0.23046518, 0.04212028, 0.73552313],
[0.8154237 , 0.29846519, 0.54610159, 0.98522034, 0.87474425]])
numpy.random.randn(d0, d1, ..., dn) 与 numpy.random.rand(d0, d1, ..., dn) 的区别在于，前者是从标准正态分布中返回一个或多个样本值。
np.random.randn(1, 10)
array([[ 0.23258672, -1.01916074, 0.94776359, -2.28164898, 0.36065012,
-0.48312406, -0.71076466, 0.15035801, 0.17936803, 0.20025991]])
randint(low, high, size, dtype) 方法将会生成 [low, high) 的随机整数。注意这是一个半开半闭区间。
np.random.randint(2, 5, 10)
array([2, 3, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 3, 3])
random_sample(size) 方法将会在 [0, 1) 区间内生成指定 size 的随机浮点数。
np.random.random_sample([10])
array([0.32876593, 0.66467223, 0.88200189, 0.61820496, 0.52265893,
0.45932373, 0.67943177, 0.92985638, 0.79814742, 0.95555617])
与 numpy.random.random_sample 类似的方法还有：
numpy.random.random([size])numpy.random.ranf([size])numpy.random.sample([size])
它们 4 个的效果都差不多。
choice(a, size, replace, p) 方法将会给定的数组里随机抽取几个值，该方法类似于随机抽样。
np.random.choice(10, 5)
array([6, 4, 8, 1, 8])
上面的代码将会在 np.arange(10) 中随机抽取 5 个数。
概率密度分布
除了上面介绍的 6 种随机数生成方法，NumPy 还提供了大量的满足特定概率密度分布的样本生成方法。它们的使用方法和上面非常相似，这里就不再一一介绍了。列举如下：
numpy.random.beta(a，b，size)：从 Beta 分布中生成随机数。numpy.random.binomial(n, p, size)：从二项分布中生成随机数。numpy.random.chisquare(df，size)：从卡方分布中生成随机数。numpy.random.dirichlet(alpha，size)：从 Dirichlet 分布中生成随机数。numpy.random.exponential(scale，size)：从指数分布中生成随机数。numpy.random.f(dfnum，dfden，size)：从 F 分布中生成随机数。numpy.random.gamma(shape，scale，size)：从 Gamma 分布中生成随机数。numpy.random.geometric(p，size)：从几何分布中生成随机数。numpy.random.gumbel(loc，scale，size)：从 Gumbel 分布中生成随机数。
numpy.random.hypergeometric(ngood, nbad, nsample, size)：从超几何分布中生成随机数。
numpy.random.laplace(loc，scale，size)：从拉普拉斯双指数分布中生成随机数。numpy.random.logistic(loc，scale，size)：从逻辑分布中生成随机数。numpy.random.lognormal(mean，sigma，size)：从对数正态分布中生成随机数。numpy.random.logseries(p，size)：从对数系列分布中生成随机数。numpy.random.multinomial(n，pvals，size)：从多项分布中生成随机数。numpy.random.multivariate_normal(mean, cov, size)：从多变量正态分布绘制随机样本。numpy.random.negative_binomial(n, p, size)：从负二项分布中生成随机数。numpy.random.noncentral_chisquare(df，nonc，size)：从非中心卡方分布中生成随机数。numpy.random.noncentral_f(dfnum, dfden, nonc, size)：从非中心 F 分布中抽取样本。
numpy.random.normal(loc，scale，size)：从正态分布绘制随机样本。
numpy.random.pareto(a，size)：从具有指定形状的 Pareto II 或 Lomax 分布中生成随机数。numpy.random.poisson(lam，size)：从泊松分布中生成随机数。numpy.random.power(a，size)：从具有正指数 a-1 的功率分布中在 0，1 中生成随机数。numpy.random.rayleigh(scale，size)：从瑞利分布中生成随机数。numpy.random.standard_cauchy(size)：从标准 Cauchy 分布中生成随机数。numpy.random.standard_exponential(size)：从标准指数分布中生成随机数。numpy.random.standard_gamma(shape，size)：从标准 Gamma 分布中生成随机数。numpy.random.standard_normal(size)：从标准正态分布中生成随机数。numpy.random.standard_t(df，size)：从具有 df 自由度的标准学生 t 分布中生成随机数。
numpy.random.triangular(left，mode，right，size)：从三角分布中生成随机数。
numpy.random.uniform(low，high，size)：从均匀分布中生成随机数。numpy.random.vonmises(mu，kappa，size)：从 von Mises 分布中生成随机数。numpy.random.wald(mean，scale，size)：从 Wald 或反高斯分布中生成随机数。numpy.random.weibull(a，size)：从威布尔分布中生成随机数。numpy.random.zipf(a，size)：从 Zipf 分布中生成随机数。
数学函数
使用 Python 自带的运算符，你可以完成数学中的加减乘除，以及取余、取整，幂次计算等。导入自带的 math 模块之后，里面又包含绝对值、阶乘、开平方等一些常用的数学函数。不过，这些函数仍然相对基础。如果要完成更加复杂一些的数学计算，就会显得捉襟见肘了。
NumPy 为我们提供了更多的数学函数，以帮助我们更好地完成一些数值计算。下面就依次来看一看。
三角函数
首先, 看一看 NumPy 提供的三角函数功能。这些方法有：
numpy.sin(x)：三角正弦。numpy.cos(x)：三角余弦。numpy.tan(x)：三角正切。numpy.arcsin(x)：三角反正弦。numpy.arccos(x)：三角反余弦。numpy.arctan(x)：三角反正切。numpy.hypot(x1,x2)：直角三角形求斜边。numpy.degrees(x)：弧度转换为度。
numpy.radians(x)：度转换为弧度。
numpy.deg2rad(x)：度转换为弧度。numpy.rad2deg(x)：弧度转换为度。
比如，我们可以用上面提到的 numpy.rad2deg(x) 将弧度转换为度。
np.rad2deg(np.pi) # PI 值弧度表示
180.0
上面的这些函数非常简单，就不再一一举例了。你可以自己新建一些空白单元格练习。
双曲函数
在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数。双曲函数经常出现于某些重要的线性微分方程的解中，使用 NumPy 计算它们的方法为：
numpy.sinh(x)：双曲正弦。numpy.cosh(x)：双曲余弦。numpy.tanh(x)：双曲正切。numpy.arcsinh(x)：反双曲正弦。numpy.arccosh(x)：反双曲余弦。numpy.arctanh(x)：反双曲正切。
数值修约
数值修约, 又称数字修约, 是指在进行具体的数字运算前, 按照一定的规则确定一致的位数, 然后舍去某些数字后面多余的尾数的过程。比如, 我们常听到的「4 舍 5 入」就属于数值修约中的一种。
numpy.around(a)：平均到给定的小数位数。numpy.round_(a)：将数组舍入到给定的小数位数。numpy.rint(x)：修约到最接近的整数。numpy.fix(x, y)：向 0 舍入到最接近的整数。numpy.floor(x)：返回输入的底部(标量 x 的底部是最大的整数 i)。numpy.ceil(x)：返回输入的上限(标量 x 的底部是最小的整数 i).numpy.trunc(x)：返回输入的截断值。
随机选择几个浮点数，看一看上面方法的区别。
a = np.random.randn(5) # 生成 5 个随机数
a # 输出 a 的值
array([ 1.09810685, -0.49780758, -0.69893858, -0.11250306, 1.43762089])
np.around(a)
array([ 1., -0., -1., -0., 1.])
np.rint(a)
array([ 1., -0., -1., -0., 1.])
np.fix(a)
array([ 1., -0., -0., -0., 1.])
求和、求积、差分
下面这些方法用于数组内元素或数组间进行求和、求积以及进行差分。
numpy.prod(a, axis, dtype, keepdims)：返回指定轴上的数组元素的乘积。numpy.sum(a, axis, dtype, keepdims)：返回指定轴上的数组元素的总和。numpy.nanprod(a, axis, dtype, keepdims)：返回指定轴上的数组元素的乘积, 将 NaN 视作 1。numpy.nansum(a, axis, dtype, keepdims)：返回指定轴上的数组元素的总和, 将 NaN 视作 0。numpy.cumprod(a, axis, dtype)：返回沿给定轴的元素的累积乘积。numpy.cumsum(a, axis, dtype)：返回沿给定轴的元素的累积总和。numpy.nancumprod(a, axis, dtype)：返回沿给定轴的元素的累积乘积, 将 NaN 视作 1。numpy.nancumsum(a, axis, dtype)：返回沿给定轴的元素的累积总和, 将 NaN 视作 0。numpy.diff(a, n, axis)：计算沿指定轴的第 n 个离散差分。numpy.ediff1d(ary, to_end, to_begin)：数组的连续元素之间的差异。numpy.gradient(f)：返回 N 维数组的梯度。
numpy.cross(a, b, axisa, axisb, axisc, axis)：返回两个(数组）向量的叉积。
numpy.trapz(y, x, dx, axis)：使用复合梯形规则沿给定轴积分。
下面，我们选取几个举例测试一下：
a = np.arange(10) # 生成 0-9
a # 输出 a 的值
array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])
np.sum(a)
45
np.diff(a)
array([1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1])
指数和对数
如果你需要进行指数或者对数求解，可以用到以下这些方法。
numpy.exp(x)：计算输入数组中所有元素的指数。numpy.log(x)：计算自然对数。numpy.log10(x)：计算常用对数。numpy.log2(x)：计算二进制对数。
算术运算
当然，NumPy 也提供了一些用于算术运算的方法，使用起来会比 Python 提供的运算符灵活一些，主要是可以直接针对数组。
numpy.add(x1, x2)：对应元素相加。
numpy.reciprocal(x)：求倒数 1/x。
numpy.negative(x)：求对应负数。numpy.multiply(x1, x2)：求解乘法。numpy.divide(x1, x2)：相除 x1/x2。numpy.power(x1, x2)：类似于 x1^x2。numpy.subtract(x1, x2)：减法。numpy.fmod(x1, x2)：返回除法的元素余项。numpy.mod(x1, x2)：返回余项。
numpy.modf(x1)：返回数组的小数和整数部分。
numpy.remainder(x1, x2)：返回除法余数。
a1 = np.random.randint(0, 10, 5) # 生成 5 个从 0-10 的随机整数
a2 = np.random.randint(0, 10, 5)
a1, a2 # 输出 a1, a2
(array([3, 6, 5, 2, 8]), array([0, 3, 4, 0, 2]))
np.add(a1, a2)
array([ 3, 9, 9, 2, 10])
np.negative(a1)
array([-3, -6, -5, -2, -8])
np.multiply(a1, a2)
array([ 0, 18, 20, 0, 16])
np.divide(a1, a2)
<ipython-input-64-6e5c27a697c9>:1: RuntimeWarning: divide by zero encountered in true_divide
np.divide(a1, a2)
array([ inf, 2. , 1.25, inf, 4. ])
np.power(a1, a2)
array([ 1, 216, 625, 1, 64], dtype=int32)
矩阵和向量积
求解向量、矩阵、张量的点积等同样是 NumPy 非常强大的地方。
numpy.dot(a, b)：求解两个数组的点积。numpy.vdot(a, b)：求解两个向量的点积。numpy.inner(a, b)：求解两个数组的内积。numpy.outer(a, b)：求解两个向量的外积。numpy.matmul(a, b)：求解两个数组的矩阵乘积。numpy.tensordot(a, b)：求解张量点积。numpy.kron(a, b)：计算 Kronecker 乘积。
a = np.matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
b = np.matrix([[2, 2], [3, 3], [4, 4]])
np.matmul(a, b)
matrix([[20, 20],
[47, 47]])
除了上面这些归好类别的方法，NumPy 中还有一些用于数学运算的方法，归纳如下：
numpy.angle(z, deg)：返回复参数的角度。numpy.real(val)：返回数组元素的实部。numpy.imag(val)：返回数组元素的虚部。numpy.conj(x)：按元素方式返回共轭复数。numpy.convolve(a, v, mode)：返回线性卷积。numpy.sqrt(x)：平方根。numpy.cbrt(x)：立方根。numpy.square(x)：平方。numpy.absolute(x)：绝对值, 可求解复数。numpy.fabs(x)：绝对值。numpy.sign(x)：符号函数。numpy.maximum(x1, x2)：最大值。
numpy.minimum(x1, x2)：最小值。
numpy.nan_to_num(x)：用 0 替换 NaN。numpy.interp(x, xp, fp, left, right, period)：线性插值。
代数运算
上面，我们分为 8 个类别，介绍了 NumPy 中常用到的数学函数。这些方法让复杂的计算过程表达更为简单。除此之外，NumPy 中还包含一些代数运算的方法，尤其是涉及到矩阵的计算方法，求解特征值、特征向量、逆矩阵等，非常方便。
numpy.linalg.cholesky(a)：Cholesky 分解。numpy.linalg.qr(a ,mode)：计算矩阵的 QR 因式分解。numpy.linalg.svd(a ,full_matrices,compute_uv)：奇异值分解。numpy.linalg.eig(a)：计算正方形数组的特征值和右特征向量。numpy.linalg.eigh(a, UPLO)：返回 Hermitian 或对称矩阵的特征值和特征向量。numpy.linalg.eigvals(a)：计算矩阵的特征值。numpy.linalg.eigvalsh(a, UPLO)：计算 Hermitian 或真实对称矩阵的特征值。numpy.linalg.norm(x ,ord,axis,keepdims)：计算矩阵或向量范数。numpy.linalg.cond(x ,p)：计算矩阵的条件数。
numpy.linalg.det(a)：计算数组的行列式。
numpy.linalg.matrix_rank(M ,tol)：使用奇异值分解方法返回秩。numpy.linalg.slogdet(a)：计算数组的行列式的符号和自然对数。numpy.trace(a ,offset,axis1,axis2,dtype,out)：沿数组的对角线返回总和。numpy.linalg.solve(a, b)：求解线性矩阵方程或线性标量方程组。numpy.linalg.tensorsolve(a, b ,axes)：为 x 解出张量方程 a x = bnumpy.linalg.lstsq(a, b ,rcond)：将最小二乘解返回到线性矩阵方程。numpy.linalg.inv(a)：计算逆矩阵。numpy.linalg.pinv(a ,rcond)：计算矩阵的（Moore-Penrose）伪逆。numpy.linalg.tensorinv(a ,ind)：计算 N 维数组的逆。
这里我们就不再一一尝试了，阅读一遍留下印象，用到时查阅官方文档即可。
数组索引和切片
我们已经明确了，Ndarray 是 NumPy 的组成核心，那么对于 NumPy 的多维数组，其实它完整集成了 Python 对于数组的索引语法 array[obj]。随着 obj 的不同，我们可以实现字段访问、数组切片、以及其他高级索引功能。
数组索引
我们可以通过索引值（从 0 开始）来访问 Ndarray 中的特定位置元素。NumPy 中的索引和 Python 对 list 索引的方式非常相似，但又有所不同。我们一起来看一下：
首先是，一维数据索引：
a = np.arange(10) # 生成 0-9
a
array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])
获取索引值为 1 的数据。
a[1]
1
分别获取索引值为 1，2，3 的数据。
a[[1, 2, 3]]
array([1, 2, 3])
对于二维数据而言：
a = np.arange(20).reshape(4, 5)
a
array([[ 0, 1, 2, 3, 4],
[ 5, 6, 7, 8, 9],
[10, 11, 12, 13, 14],
[15, 16, 17, 18, 19]])
获取第 2 行，第 3 列的数据。
a[1, 2]
7
如果，我们使用 Python 中的 list 索引同样的值，看看有什么区别：
a = a.tolist()
a
[[0, 1, 2, 3, 4], [5, 6, 7, 8, 9], [10, 11, 12, 13, 14], [15, 16, 17, 18, 19]]
按照上面的方法获取第 2 行，第 3 列的数据。【报错】
a[1, 2]
---------------------------------------------------------------------------
TypeError Traceback (most recent call last)
<ipython-input-73-65421a8df816> in <module>
----> 1 a[1, 2]
TypeError: list indices must be integers or slices, not tuple
Python 中 list 索引 2 维数据的方法正确的做法是：
a[1][2]
如何索引二维 Ndarray 中的多个元素值，这里使用逗号,分割：
a = np.arange(20).reshape(4, 5)
a
a[[1, 2], [3, 4]]
这里需要注意索引的对应关系。我们实际获取的是 [1, 3]，也就是第 2 行和第 4 列对于的值 8。以及 [2, 4]，也就是第 3 行和第 5 列对应的值 14。
那么，三维数据呢？
a = np.arange(30).reshape(2, 5, 3)
a
a[[0, 1], [1, 2], [1, 2]]
数组切片
NumPy 里面针对Ndarray的数组切片和 Python 里的 list 切片操作是一样的。其语法为：
Ndarray[start:stop:step]
[start:stop:step] 分别代表 [起始索引:截至索引:步长]。对于一维数组：
a = np.arange(10)
a
a[:5]
a[5:10]
a[0:10:2]
对于多维数组，我们只需要用逗号 , 分割不同维度即可：
a = np.arange(20).reshape(4, 5)
a
array([[ 0, 1, 2, 3, 4],
[ 5, 6, 7, 8, 9],
[10, 11, 12, 13, 14],
[15, 16, 17, 18, 19]])
先取第 3，4 列（第一个维度），再取第 1，2，3 行（第二个维度）
a[0:3, 2:4]
array([[ 2, 3],
[ 7, 8],
[12, 13]])
按步长为 2 取所有列和所有行的数据。
a[:, ::2]
array([[ 0, 2, 4],
[ 5, 7, 9],
[10, 12, 14],
[15, 17, 19]])
当超过 3 维或更多维时，用 2 维数据的切片方式类推即可。
排序、搜索、计数
最后，再介绍几个 NumPy 针对数组元素的使用方法，分别是排序、搜索和计数。
我们可以使用 numpy.sort 方法对多维数组元素进行排序。其方法为：
numpy.sort(a, axis=-1, kind='quicksort', order=None)
其中：
a：数组。axis：要排序的轴。如果为None，则在排序之前将数组铺平。默认值为-1，沿最后一个轴排序。kind：{'quicksort'，'mergesort'，'heapsort'}，排序算法。默认值为quicksort。
举个例子：
a = np.random.rand(20).reshape(4, 5)
a
array([[0.21626002, 0.19897979, 0.88198883, 0.86509815, 0.67727278],
[0.7061191 , 0.75869575, 0.4116154 , 0.13741194, 0.32823557],
[0.34215987, 0.28816251, 0.41841769, 0.7365042 , 0.11051041],
[0.32656655, 0.69565702, 0.09559759, 0.65165 , 0.01795022]])
np.sort(a)
array([[0.19897979, 0.21626002, 0.67727278, 0.86509815, 0.88198883],
[0.13741194, 0.32823557, 0.4116154 , 0.7061191 , 0.75869575],
[0.11051041, 0.28816251, 0.34215987, 0.41841769, 0.7365042 ],
[0.01795022, 0.09559759, 0.32656655, 0.65165 , 0.69565702]])
除了 numpy.sort，还有这样一些对数组进行排序的方法：
numpy.lexsort(keys ,axis)：使用多个键进行间接排序。numpy.argsort(a ,axis,kind,order)：沿给定轴执行间接排序。numpy.msort(a)：沿第 1 个轴排序。numpy.sort_complex(a)：针对复数排序。
搜索和计数
除了排序，我们可以通过下面这些方法对数组中元素进行搜索和计数。列举如下：
argmax(a ,axis,out)：返回数组中指定轴的最大值的索引。nanargmax(a ,axis)：返回数组中指定轴的最大值的索引,忽略 NaN。argmin(a ,axis,out)：返回数组中指定轴的最小值的索引。nanargmin(a ,axis)：返回数组中指定轴的最小值的索引,忽略 NaN。argwhere(a)：返回数组中非 0 元素的索引,按元素分组。nonzero(a)：返回数组中非 0 元素的索引。flatnonzero(a)：返回数组中非 0 元素的索引,并铺平。where(条件,x,y)：根据指定条件,从指定行、列返回元素。searchsorted(a,v ,side,sorter)：查找要插入元素以维持顺序的索引。
extract(condition,arr)：返回满足某些条件的数组的元素。
count_nonzero(a)：计算数组中非 0 元素的数量。
选取其中的一些方法举例：
a = np.random.randint(0, 10, 20)
a
array([0, 3, 0, 7, 5, 4, 1, 4, 0, 8, 9, 5, 5, 1, 8, 8, 3, 9, 5, 4])
np.argmax(a)
10
np.argmin(a)
0
np.nonzero(a)
(array([ 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19],
dtype=int64),)
np.count_nonzero(a)
17