NOIP模拟测试15

T2读题跪掉了好可惜 QAQ

Problem A:建设城市

插板加容斥搞个不停，得到柿子：$sum limits_{i=0} (-1) ^ {i}C_{m - ik - 1} ^ {n-1} imes C_n^i$。

预处理阶乘和阶乘逆元，ning干。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long

const int D = 998244353;
ll n, m, k, fac[10000007], inv[10000007], ans;

ll Qpow(ll x, ll b) {
    ll ret = 1;
    for (; b; b >>= 1, x = x * x % D)
        if (b & 1) ret = ret * x % D;
    return ret;
}

void init(int x) {
    fac[0] = fac[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= x; i++) fac[i] = fac[i - 1] * i % D;
    for (int i = 1; i <= x; i++) inv[i] = Qpow(fac[i], D - 2);
}

ll C(int n, int m) {
    return fac[n] * inv[m] % D * inv[n - m] % D;
}

signed main() {
    scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &k);
    if (n > m || m > n * k) {
        puts("0");
        return 0;
    }
    init(std::max(n, m));
    ans += C(m - 1, n - 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (m - i * k - 1 < n - 1) break;
        ll tmp = C(n, i) * C(m - i * k - 1, n - 1) % D;
        if (i & 1) ans = (ans - tmp + D) % D;
        else ans = (ans + tmp) % D;
    }
    printf("%lld
", ans % D);
    return 0;
}

Problem B:轰炸行动

读错题，读成一条边的两边不能同时轰炸，这肯定就可以染色嘛，获得了10分的好成绩半个机房都看错了

真正的题意：两点联通就不能同时轰炸。

那我就没话讲了。Tarjan跑出SCC，拓扑跑个最长链。

#include <bits/stdc++.h>

const int N = 10000005;
int n, m;
std::vector<int> E[N], G[N];

int dfn[N], low[N], stk[N], tp, num, scc, val[N], pos[N], ind[N], f[N], ans;
bool ins[N];

void Tarjan(int x) {
    low[x] = dfn[x] = ++num;
    ins[stk[++tp] = x] = 1;
    for (auto y : E[x]) {
        if (!dfn[y]) {
            Tarjan(y);
            low[x] = std::min(low[x], low[y]);
        } else if (ins[y]) {
            low[x] = std::min(low[x], dfn[y]);
        }
    }
    if (low[x] == dfn[x]) {
        ++scc;
        int y;
        do {
            y = stk[tp--], ins[y] = 0;
            val[scc]++, pos[y] = scc;
        } while (y != x);
    }
}

void topsort() {
    std::queue<int> q;
    for (int i = 1; i <= scc; i++) {
        if (!ind[i]) {
            q.push(i);
            f[i] = val[i];
        }
    }
    while (!q.empty()) {
        int x = q.front();
        q.pop();
        for (auto y : G[x]) {
            --ind[y];
            f[y] = std::max(f[y], f[x] + val[y]);
            if (!ind[y]) {
                q.push(y);
            }
        }
    }
    for (int i = 1; i <= scc; i++)
        ans = std::max(ans, f[i]);
}

signed main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1, a, b; i <= m; i++) {
        scanf("%d%d", &a, &b);
        E[a].push_back(b);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (!dfn[i]) Tarjan(i);
    }
    for (int x = 1; x <= n; x++) {
        for (auto y : E[x]) {
            if (pos[x] != pos[y]) {
                G[pos[x]].push_back(pos[y]);
                ind[pos[y]]++;
            }
        }
    }
    topsort();
    printf("%d
", ans);
    return 0;
}

Problem C:石头剪刀布

20分特判必拿。感觉像是能状压，但搞了半天搞不出来，感觉不可做，和AI下五子棋。

题解过于谔谔，n那么小不是没原因的（

设f[i][j][k][l]为i+j+k步i个石头j个剪刀k个布，下一步为l的概率。然后就发现不可求。

再开一个辅助数组g[i][j][k]表示i+j+k步i个石头j个剪刀k个布的概率。

g[]的转移：$g[i][j][[k] += g[i-1][j][k] * r[t] + g[i][j-1][k] * s[t] + g[i][j][k-1] * p[t]$。

利用g[]可以把f[]也转移了：$f[i][j][k][l] += f[i-1][j][k][l]*r[t]+f[i][j-1][k][l]*s[t]+f[i][j][k-1][l]*s[t]+g[i][j][k]*(r[t]+p[t]+s[t])$.

到这里使劲想想还是能想出来的，但此时发现看不懂std。Orz

std最主要看不懂的就是那个第5层循环。其实是这样的。

首先std没有开g[]，直接用f[][][][0]当g[]用。我们要求f[i][j][k][l]，首先要先从之前的状态把已有概率继承，柿子的前半段就是在干这个。

if (x) f[j][k][l][x] += f[j][k][l][0] * QAQ[i][x]

这一行只有j+k+l!=i的时候才会有可能执行。它存在的意义就是用g[]更新状态，是之前柿子右半部分。

if (j) f[j][k][l][x] += f[j-1][k][l][x] * QAQ[i][1];
if (k) f[j][k][l][x] += f[j][k-1][l][x] * QAQ[i][2];
if (l) f[j][k][l][x] += f[j][k][l-1][x] * QAQ[i][3];

这三行得分成x = 0和x > 0去看。x > 0时仍然是继承。x = 0时则是在更新g[]。

当j+k+l==i时，目标状态都已经更新完毕了，这时用目标状态给下一个状态更新一下g[]。

#include <bits/stdc++.h>

int n;
double QAQ[105][5], f[60][60][60][10], C[70][70], ans;

signed main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1, r, p, s; i <= n; i++) {
        scanf("%d%d%d", &r, &p, &s);
        QAQ[i][1] = (double) r / 300.0;
        QAQ[i][2] = (double) s / 300.0;
        QAQ[i][3] = (double) p / 300.0;
    }
    C[0][0] = C[1][0]= C[1][1] = 1.0;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        C[i][0] = 1.0;
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            C[i][j] = C[i-1][j] + C[i-1][j-1];
        }
    }
    f[0][0][0][0] = 1.0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = i; j >= 0; j--) {
            for (int k = i - j; k >= 0; k--) {
                for (int l = i - j - k; l >= 0; l--) {
                    for (int x = ((j + k + l == i) ? 0 : 3); x >= 0; x--) {
                        if (j) f[j][k][l][x] += f[j-1][k][l][x] * QAQ[i][1];
                        if (k) f[j][k][l][x] += f[j][k-1][l][x] * QAQ[i][2];
                        if (l) f[j][k][l][x] += f[j][k][l-1][x] * QAQ[i][3];
                        if (x) f[j][k][l][x] += f[j][k][l][0] * QAQ[i][x];
                    }
                }
            }
        }
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; i + j < n; j++) {
            for (int k = 0; i + j + k < n; k++) {
                double tmp1 = f[i][j][k][1] + 3.0 * f[i][j][k][2];
                double tmp2 = f[i][j][k][2] + 3.0 * f[i][j][k][3];
                double tmp3 = f[i][j][k][3] + 3.0 * f[i][j][k][1];
                ans += std::max(std::max(tmp1, tmp2), tmp3) /
                    (C[n][i+j+k] * (n - i - j - k));
            }
        }
    }
    printf("%.12lf
", ans);
    return 0;
}