51nod1119(除法取模/费马小定理求组合数)

题目链接：https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1119

题意：中文题诶～

思路：这题数据比较大直接暴力肯定是不行咯，通过一部分打表我们不难发现这个矩阵就是由两个杨辉三角构成的，那么求f(n, m)就是求组合数c(m+n-2, m-1)%mod，其中n>=m;

我们令m+n-2=n, m-1=m, 即我们要求c(n, m)＝n!/((n-m)!*m!)%mod，为了书写方便，我们再令：a=n!/(n-m)!, b=m!;

那么我们现在要求的就是：(a/b)%mod，除法取模并不能直接计算，我们需要将之转化为乘法取摸运算；

接下来我们可以有两种解法：

解法１：(a/b)%mod=(a*b')%mod，其中b'为b％mod的乘法逆元，求乘法逆元我们直接用exgcd就好了；不过这里还有一个问题需要注意：

a, b两个数本身就已经超过long long了，所以我们不能先直接计算出a, b的值再求逆元；那么我们是否可以在计算a, b的过程中给其取摸呢？

即：（(a%mod)/(b%mod))%mod=?((a%mod)*b')%mod,  答案是可以的，　因为：b=1(%mod), 那么有　b%mod=1(%mod), 　显然，先给b取摸再求逆是可行的。　所以我们最终要求的就是：((a%mod)*b')%mod；

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

const ll mod=1e9+7;

void exgcd(ll a, ll b, ll&x, ll&y){
    if(!b){
        y=0, x=1;
        return;
    }
    exgcd(b, a%b, y, x);
    y-=a/b*x;
}

int main(void){
    ll n, m, a=1, b=1, x, y;
    cin >> n >> m;
    if(n<m){
        swap(n, m);
    }
    n=n+m-2, m-=1;
    for(ll i=n,j=0; j<m; j++,i--){
        a=i*a%mod;
    }
    for(ll i=2; i<=m; i++){
        b=b*i%mod;
    }
    exgcd(b, mod, x, y);
    x=(x%mod+mod)%mod;
    cout << a*x%mod << endl;
    return 0;
}

解法２：

我们先引入费马小定理：对于互质的两个数b, mod，　有：b^(mod-1)=1(%mod)-----1式;

本题要求　x=(a/b)%mod，　即: a/b=x(%mod)-----2式;

联立1,2式，有：a/b*b^(mod-1)=x(%mod), 即：a*b^(mod-2)=x(%mod), 所以：x=a*b^(mod-2) % mod, 我们可以用快速幂求解；

关于上式证明：

１式等价于：b^(mod-1)%mod=1; 即: b^(mod-1)=k*mod+1;

2式等价于：(a/b)%mod=x; 即: a/b=k'*mod+x;

所以有：a/b*b^(mod-1)=k*k'*mod^2+k'*mod+x*k*mod+x;

所以：a/b*b^(mod-1)%mod=x；

所以：a/b*b^(mod-1)=x(%mod), 即原式得证；

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

const ll mod=1e9+7;

ll get_pow(ll x, ll n){
    ll ans=1;
    while(n){
        if(n&1){
            ans=ans*x%mod;
        }
        x=x*x%mod;
        n>>=1;
    }
    return (ans+mod)%mod;
}

int main(void){
    ll n, m, a=1, b=1, x, y;
    cin >> n >> m;
    if(n<m){
        swap(n, m);
    }
    n=n+m-2, m-=1;
    for(ll i=n,j=0; j<m; j++,i--){
        a=i*a%mod;
    }
    for(ll i=2; i<=m; i++){
        b=b*i%mod;
    }
    cout << a*get_pow(b, mod-2)%mod << endl;
    return 0;
}