zoj3435(莫比乌斯反演)

题目链接: http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3435

题意: 给出一个三维坐标 (x, y, z), 问该点与 (1, 1, 1) 组成的长方体中有多少条经过点 (1, 1, 1) 的直线 .

思路:  显然本题的难点是线段不能重复计算, 比如 (1, 1, 1) 到 (2, 2, 2) 和 (1, 1, 1) 到 (4, 4, 4) 同一条直线 .

为了计算方便, 我们先将这个问题替换成它的等价问题: 求 (0, 0, 0), (x - 1, y - 1 , z - 1) 组成的长方体中有多少条经过 (0, 0, 0) 的直线 .

通过画图可以发现当且仅当点 (j, k, l) 满足 gcd(j, k, l) = 1 时累计直线 (0, 0, 0), (j, k, l) 刚好能累加到所有直线并且不会重复计算 .

然后我们将满足条件的直线分为 3 部分:

1. 从 (0, 0, 0) 出发的 3 条棱；

2. 从 (0, 0, 0) 出发的 3 个表面；

3. 从 (0, 0, 0) 出发到长方体内部的直线；

对于 1, 显然满足条件的直线为 3 条；

对于 2, 满足条件的直线数目为 gcd(j, k) = 1 的直线数目加 gcd(j, l) = 1 的直线数目加 gcd(k, l) = 1 的直线数目, 其中 1 <= j <= x -1, 1 <= k <= y - 1, 1 <= l <= z -1；

对于 3, 满足条件的直线数目为 gcd(j, k, l) = 1 的直线数目, 其中 1 <= j <= x -1, 1 <= k <= y - 1, 1 <= l <= z -1；

显然对于上面的计算部分都可以用莫比乌斯反演在线性时间内完成 .

代码:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define ll long long
using namespace std;

const int MAXN = 1e6 + 10;

bool check[MAXN];
int prime[MAXN], mu[MAXN], sum[MAXN];

void Moblus(void){
    memset(check, false, sizeof(check));
    int tot = 0;
    mu[1] = 1;
    sum[1] = 1;
    for(int i = 2; i < MAXN; i++){
        if(!check[i]){
            prime[tot++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j = 0; j < tot && prime[j] * i < MAXN; j++){
            check[prime[j] * i] = true;
            if(i % prime[j] == 0){
                mu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }else mu[i * prime[j]] = -mu[i];
        }
        sum[i] = sum[i - 1] + mu[i];
    }
}

ll solve(int x, int y){
    ll ans = 0;
    if(x > y) swap(x, y);
    for(int i = 1, la = 0; i <= x; i = la + 1){
        la = min(x / (x / i), y / (y / i));
        ans += (ll)(sum[la] - sum[i - 1]) * (x / i) * (y / i);
    }
    return ans;
}

ll solve(int x, int y, int z){
    ll ans = 0;
    if(x > y) swap(x, y);
    if(x > z) swap(x, z);
    for(int i = 1, la = 0; i <= x; i = la + 1){
        la = min(min(x / (x / i), y / (y / i)), z / (z / i));
        ans += (ll)(sum[la] - sum[i - 1]) * (x / i) * (y / i) * (z / i);
    }
    return ans;
}

int main(void){
    Moblus();
    int x, y, z;
    while(~scanf("%d%d%d", &x, &y, &z)){
        x--;
        y--;
        z--;
        ll ans = 3;
        ans += solve(x, y);
        ans += solve(x, z);
        ans += solve(y, z);
        ans += solve(x, y, z);
        printf("%lld
", ans);
    }
    return 0;
}