poj1753(高斯消元解mod2方程组)

题目链接：http://poj.org/problem?id=1753

题意：一个 4*4 的棋盘，初始时上面放满了黑色或白色的棋子．对 (i, j) 位置进行一次操作后 (i, j), (i + 1, j), (i - 1, j), (i, j + 1), (i, j - 1) 位置的棋子会变成原来相反的状态．问最少需要多少步可以将棋盘上的棋子全部变成白色或者黑色．

思路：分别将棋子变成黑色和白色，然后再用高斯消元解，其中步数较小者即为答案．

注意不存在唯一解时需要枚举自由变元来取得最小步数．

代码：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <string.h>
using namespace std;

const int inf = 1e9;
const int MAXN = 3e2;
int equ, var;//有equ个方程,var个变元,增广矩正行数为equ,列数为var+1,从0开始计数
int a[MAXN][MAXN];//增广矩正
int free_x[MAXN];//用来存储自由变元(多解枚举自由变元可以使用)
int free_num;//自由变元个数
int x[MAXN];//解集

int Gauss(void){//返回-1表示无解,0表示有唯一解,否则返回自由变元个数
    int max_r, col, k;
    free_num = 0;
    for(k = 0, col = 0; k < equ && col < var; k++, col++){
        max_r = k;
        for(int i = k + 1; i < equ; i++){
            if(abs(a[i][col] > abs(a[max_r][col]))) max_r = i;
        }
        if(a[max_r][col] == 0){
            k--;
            free_x[free_num++] = col;//这个是变元
            continue;
        }
        if(max_r != k){
            for(int j = col; j < var + 1; j++){
                swap(a[k][j], a[max_r][j]);
            }
        }
        for(int i = k + 1; i < equ; i++){
            if(a[i][col] != 0){
                for(int j = col; j < var + 1; j++){
                    a[i][j] ^= a[k][j];
                }
            }
        }
    }
    for(int i = k; i < equ; i++){
        if(a[i][col] != 0) return -1;//无解
    }
    if(k < var) return var - k;//返回自由变元个数
    for(int i = var - 1; i >= 0; i--){
        x[i] = a[i][var];
        for(int j = i + 1; j < var; j++){
            x[i] ^= (a[i][j] && x[j]);
        }
    }
    return 0;
}

const int n = 4;
string s[5];

int solve(void){
    int op = Gauss();
    if(op == -1) return inf;//无解
    else if(op == 0){//存在唯一解
        int sol = 0;
        for(int i = 0; i < var; i++){
            sol += x[i];
        }
        return sol;
    }else{//存在多解,需要枚举自由变元找到最小需要的操作数
        int sol = inf;
        int tot = 1 << op;//有op个变元,每个变元可取0或1,共有1<<op总情况
        for(int i = 0; i < tot; i++){//二进制枚举,i二进制位上为1的取1,为0的取0
            int cnt = 0;
            for(int j = 0; j < op; j++){
                if(i & (1 << j)){//当前第j位变元取1
                    x[free_x[j]] = 1;
                    cnt++;
                }else x[free_x[j]] = 0;
            }
            for(int j = var - op - 1; j >= 0; j--){
                int idx;
                for(idx = j; idx < var; idx++){
                    if(a[j][idx]) break;
                }
                x[idx] = a[j][var];
                for(int l = idx + 1; l < var; l++){
                    if(a[j][l]) x[idx] ^= x[l];
                }
                cnt += x[idx];
            }
            sol = min(sol, cnt);
        }
        return sol;
    }
}

void f(int op){
    for(int i = 0; i < n; i++){
        for(int j = 0; j < n; j++){
            int cnt = i * n + j;
            if(s[i][j] == 'w') a[cnt][var] = 1 - op;
            else a[cnt][var] = op;
            x[cnt] = 0;
        }
    }
    for(int i = 0; i < equ; i++){//构造增广矩阵
        int x1 = i / n;
        int y1 = i % n;
        for(int j = 0; j < var; j++){
            int x2 = j / n;
            int y2 = j % n;
            if(abs(x1 - x2) + abs(y1 - y2) < 2) a[j][i] = 1;
            else a[j][i] = 0;
        }
    }
}

void gel(void){
    int sol = inf;
    f(0);
    sol = min(sol, solve());
    f(1);
    sol = min(sol, solve());
    if(sol == inf) cout << "Impossible" << endl;
    else cout << sol << endl;
}

int main(void){
    while(cin >> s[0]){
        equ = var = n * n;
        for(int i = 1; i < n; i++){
            cin >> s[i];
        }
        gel();
    }
    return 0;
}