第8章 非线性系统的平衡点
为了为避免出现上一章遇到的一些技术性困难，从现在起，除非特别申明，总假设我们的微分方程为$C^infty$的。这意味着，对所有的$k$，微分方程的右端都是$k$次连续可向的。这至少可以保证我们定理中的假设条件是最少的。
我们已经看到，写出非线性微分方程系统的显式解往往是不可能的。当我们有平衡解时则是一个例外。常常，对于一些特定的非线性系统，这些就是它们最重要的解。更重要的是，在已经有了有关线性系统的大量工作后，我们通常可以利用线性化的技巧，在确定平衡点附近的解行为。在本章我们将详细地描述这一过程。
8.1 一些用作说明的例子
在本节，我们考虑几个微分方程的平面非线性系统，原点都是它们的平衡点。我们的目的是看出非线性系统在原点附近的解与它们的线性化系统的解是相似的，至少在某些情形下是如此。
作为第一个例子，考虑系统
[egin{align} x' &= x+y^2 \ y' &= -y. end{align}]
它令有一个位于原点的平衡解。为了画出附近的解，我们注意到，如果$y$很小，则$y^2$就更小。于是至少在原点附近，微分方程$x'= x+y^2$与$x' = x$非常接近。在7.4节中，我们已经证明了这个系统的流在原点附近与它的线性化系统$oldsymbol X' =oldsymbol Doldsymbol F_0oldsymbol X$的流很“接近”。由此想到，我们可以不考虑线性化系统，而是考虑简单地扔掉高阶菲后的系统
[egin{align} x' &= x \ y' &= -y. end{align}]
显然，我们可以立刻解出这个系统。于是我们得到在原点的一个鞍点，它的稳定线为$y$轴，而不稳定线为$x$轴。
现在让我们回到原来的非线性系统。很幸运，我们也可以将这个系统显式地解出来。从第二个方程$y'=-y$可得$y(t) = y_0e^{-t}$，将它代入第一个方程，可得
[x' = x + y_0^2e^{-2t}.]
这是一个一阶非自治方程，像微积分中一样，我们“猜”它有一个形如$ce^{-2t}$的特解，这样就可以确定它的解。事实上，将猜测的这个形式代入方程就可以得到一个特解：
[x(t) = frac{-1}{3}y_0^2e^{-2t}.]
于是，很容易验证，任何如下形式的函数
[x(t) =ce^t - frac{1}{3}y_0^2e^{-2t}]
都是方程的一个解。从而原系统的通解为
[egin{align} x(t) &= Bigg(x_0 + frac{1}{3}y_0^2 Bigg)e^t - frac{1}{3}y_0^2e^{-2t} \ y(t) &= e_0e^{-t}{-t}.end{align}]
如果$y_0 = 0$，我们可找到一个直线解$x(t) = x_0e^t,y(t) = 0$，这与线性情形的解是相同的。然而，与线性情形不同的是，$y$轴不再是趋于原点的一个解。事实上，沿$y$轴的向量场为$(y^2,-y)$，它与$y$轴不相切，其实，所有的非零向量都是指向该坐标轴的右侧。
另一方面，有一条过原点的曲线，上面的解都趋向于(0,0)。考虑$mathbb R^2$中的曲线$x+frac{1}{3}y^2 = 0$。假设$(x_0,y_0$在这条曲线上，令$(x(t),y(t))$是满足这个初始条件的解。由于$x_0+frac{1}{3}y_0^2 = 0$，这个解就是
[egin{align} x(t) &= - frac{1}{3}y_0^2e^{-2t} \ y(t) &= e_0e^{-t}{-t}.end{align}]
注意，对于所有的$t$，我们都有$x(t) + frac{1}{3}(y(t))^2 = 0$，从而对所有的时间，这个解都停留在曲线上。而且，当$t o infty$时，这个解趋于平衡点。这样，我们就找到了过原点的一条稳定曲线，它上面的所有解都趋于(0,0)。注意，这条曲线在原点与$y$轴相切(见图8.1)。
我们能否真的“扔掉”系统的非线性项呢？下面我们将看到，这个问题的回答是：得看情况。然而，在现在的情形，这样做是完全合法的，这是因为我们能找到一个变量替换(如果这各替换是连续的，能否看成是一种共轭呢？)将原来的系统真的转化成它的线性系统。
为了说明这一点，我们引入新的变量$u,v$如下
[egin{align} y &= x + frac{1}{3}y^2 \ v &= y. end{align}.]
则在新坐标下，系统变成
[egin{align} u' &= x' + frac{2}{3}yy' = x + frac{1}{3}y^2 = u \ v' &= y' = -y = -v. end{align}]
即，非线性变量替换$F(x,y) = Bigg(x+frac{1}{3}y^2,y Bigg)$将原来的非线性系统转化(这一转化，能否看成是一种共轭呢？)成了一个线性系统，事实上，就是上面的线性化系统。
例 一般地，像上例那样将一个非线性系统转换成一个线性系统是不可能的，这是因为非线性项几乎总是会对系统在远离原点(系统的平衡点)的地方产生巨大的改变。例如，考虑非线性系统
[egin{align} x' &= frac{1}{2}x-y - frac{1}{2}(x^3 + y^2x) \ y' &=x + frac{1}{2}y - frac{1}{2}(y^3 + x^2y). end{align}]
我们在原点处仍然有一个平衡点。现在的线性化系统为
[oldsymbol X' = egin{pmatrix} frac{1}{2} & -1 \ 1 & frac{1}{2} end{pmatrix} oldsymbol X,]
其特征值为$frac{1}{2} pm ext i$。容易验证，这个线性系统的所有解都按反时针方向盘旋地远离原点，且趋于$infty$。
求解上面的非线性系统看起来很困难。然而，如果换成极坐标，方程会变得非常简单。通过计算可得
[egin{align} r'cos heta - r(sin heta ) heta ' &= x' = frac{1}{2}(r - {r^3})cos heta - rsin heta \ r'sin heta + r(cos heta ) heta ' &= y' = frac{1}{2}(r - {r^3})sin heta + rcos heta , end{align}]
在上面的式子中比较$cos heta$和$sin heta$的系数可得
[egin{align} r' &= r(1-r^2)/2 \ heta ' &= 1. end{align} ]
由于去掉了方程的耦合，现在我们可将系统显式地解出。为了做得更好些，我们将以一种更几何化的方式进行。从方程$ heta ' =1$可得，所有的非零解都绕着原点逆时针方程盘旋。从每一个方程可以看出，解并不会盘旋地趋于$infty$。事实上，当$r = 1$时，我们有$r' = 0$，于是所有从单位圆周上出发的解永远逗留在那里，而且沿圆周作周期运动。由于当$0<r<1$时，$r'>0$，我们可以得出，单位圆内部的非零解都盘旋地离开原点，并且趋向单位圆周。由于当$r>1$时，$r'<0$，单位圆周外部的解都盘旋地趋向单位圆周(见图8.2)。
在这个例子中，没办法找到一个整体的坐标变换将系统化成线性形式，其理由是，线性系统都不会像这样盘旋地趋向圆周(为什么？)。然而在原点附近仍然有可能。
为了看出这点，首先注意到，当$0<r_0<1$时，在半径为$r_0$的圆周上，非线性向量场指向这个圆周的外部，当时间向后时，非线性系统的所有解都趋于原点，事实上是盘旋地趋于原点。
利用这个事实，我们可以在圆盘$r le r_0$内定义线性和非线性系统之间的一个共轭，其方式类似于第4章。在极坐标中，上面的线性化系统成为
[egin{align} r' &= r/2 \ heta ' &= 1. end{align}]
可以找到非线性系统和线性系统之间的一个共轭$h$(具体见书本)。
于是，我们发现，虽然并不是总能将一个系统整体线性化，但时常能够实现局部线性化。很遗憾，这样的局部线性化可能对解的行为提供不了任何有用的信息。
例 现在，考虑系统
[egin{align} x' &= -y + epsilon x(x^2 + y^2) \ y' &= x+epsilon y(x^2 + y^2). end{align}]
这里$epsilon$为一个参数，即可取正也可取负。
它的线性化系统为
[egin{align} x' &= -y \ y' &= x, end{align}]
由此可见，原点为一个中心，而且所有的解都在以原点为中心的圆周上，以单位角速度逆时针旋转。
非线性系统却几乎完全不一样。在极坐标下，非线性系统变成为
[egin{align} r' &= epsilon r^3 \ heta ' &=1. end{align} ]
于是，当$epsilon > 0$时，所有的解都盘旋地离开原点，而当$epsilon < 0$时，所有的解都盘旋地趋于原点。增加的非线性项，不管它在原点是多么的小，都明显地改变了线性化系统的相图；从而，我们不能用线性化方法确定系统在平衡点附近的行为。
例 现在考虑最后一个例子：
[egin{align} x' &=x^2 \ y' &=-y. end{align}]
该系统唯一的平衡解为原点。所有其他的解(除了$y$轴上的解)都向右运行，并且趋向$x$轴。在$y$轴上，解都沿该直线趋于原点。一直是，其相图如图8.3所示。
该系统的线性化系统为
[egin{align} x' &=0 \ y' &=-y, end{align}]
$x$轴上的所有的点都是这个系统的平衡点，而所有其它的解都位于$x = c$($c$为常数)竖线上。可见，它与图8.3的图形十分的不同。
这里，以及上例中的问题在于，线性化系统在原点的平衡点不是双曲的。当一个平面线性系统有一个零特征值或中心时，增加的非线性项常常会将相图完全改变。
8.2 非线性化的汇点和源点
在上节的例子中我们看到，只有当线性化系统为双曲(也就是没有一个特征值的实部为零)，平面非线性系统的平衡点附近的解行为才会与其线性化系统相似。
令$oldsymbol X' =oldsymbol F(oldsymbol X)$，并假设$oldsymbol F(oldsymbol X_0) = 0$。记$oldsymbol Doldsymbol F_{oldsymbol X_0}$为$oldsymbol F$在$oldsymbol X_0$处的雅可比矩阵。则，像第7章一样，线性微分方程系统
[oldsymbol Y' = oldsymbol D oldsymbol F_{oldsymbol X_0} oldsymbol Y]
称为$oldsymbol X_0$处的线性第系统。
为了与我们在线性系统的工作进行类比，我们称一个非线性系统的一个平衡点$oldsymbol X_0$为双曲的，如果$oldsymbol D oldsymbol F_{oldsymbol X_0}$的所有特征值都有非零实部。
线性化定理 假设$n$维系统$oldsymbol X' =oldsymbol F(oldsymbol X)$在$oldsymbol X_0$处有一个双曲平衡点。则在$oldsymbol X_0$的一个邻域内，非线性系统的流共轭于其线性化系统的流。
8.3 鞍点
现在我们来看线性化系统在$mathbb R^2$的原点处为一鞍点平衡点情形。像上一节一样，我们不妨假设系统有如下的形式：
[egin{align} x' &= lambda x + f_1(x,y) \ y' &= - mu y + f_2(x,y), end{align}]
其中$-mu < 0 < lambda$，且当$r o 0$时，$f_j(x,y)/r$趋于0。像线性系统情形一样，我们称这种类型的平衡点为一个鞍点。
对于线性系统，$y$轴为稳定线，$x$为不稳定线。正如在8.1节中所看到，我们不能指望这些稳定和不稳定直线在非线性情形还保持。尽管如此，确实还存在一对过原点的曲线具有类似的性质。
记$W^s(0)$为一些初始条件构成的集合，从这些初始条件出发的解当$t o infty$时趋于原点。记$W^u(0)$为另一些初始条件构成的集合，从这些初始条件出发的解当$t o -infty$时趋于原点。$W^s(0)$和$W^u(0)$分别称为稳定曲线和不稳定曲线。
下面的定理表明非线性鞍点和附近解的行为与线性情形非常相似。
稳定曲线定理 假设系统
[egin{align} x' &= lambda x + f_1(x,y) \ y' &= - mu y + f_2(x,y), end{align}]
满足$-mu < 0 < lambda$，且当$r o 0$时，$f_j(x,y)/r$趋于0。则存在$epsilon > 0$以及定义在$|y|<epsilon $上的一条曲线$x=h^s(y)$满足$h^s(0) = 0$。进一步，
(1)初始条件在这条曲线上的所有的解对所有的$t ge 0$仍然在这条曲线上，而且在$t o infty$时趋于原点；
(2)曲线$x=h^s(y)$经过原点时切于$y$轴；
(3)初始条件位于以原点为中心、$epsilon$为半径的圆盘内的所有其它的解在时间增加时都将离开该圆盘。
我们依次给出几点注记。曲线$x=h^s(y)$称为0处的局部稳定曲线。当位于稳定曲线上的解在时间向后时就得到完整的稳定曲线$W^s(0)$(反方向找，就能找到全体了!)。事实上，函数$x=h^s(y)$在所有点处都是$C^infty$。
类似的不稳定曲线定理将为我们提供形如$y = h^u(x)$的$x=h^s(y)$。这条曲线在原点与$x$轴相切。曲线上的所有解当$t o -infty$时都趋于原点。
我们简单地讨论一下高维的鞍点来结束本节。假设$oldsymbol X' =oldsymbol F(oldsymbol X),oldsymbol X in mathbb R^n$。假设$oldsymbol X_0$为一个平衡解，其相应的线性化系统具有$k$个实部为负的特征值和$n-k$个实部为正的特征值。则局部稳定集和局部不稳定集一般不再是曲线，而分别是$k$维和$n-k$维的“子流形”。我们不打算在此讨论流形理论，而只是简单地指出，这意味着，在经过一个线性坐标变换后(还是线性化后？一样吗？)，原点附近的局部稳定集由一个$C^infty$函数$G:B_r o mathbb R^{n-k}$的图像所给出，其中$g(0)=0$，且$g$的所有的偏导数在原点都是零。这里，$B_r$是$mathbb R^k$中中心为原点半径为$r$的圆盘。局部不稳定集是一个$n-k$维圆盘上的类似的图像。这两个图像在平衡点$oldsymbol X_0$处分别切于它的稳定子空间和不稳定子空间。于是它们只在$oldsymbol X_0$处相交。
例 考虑系统
[egin{align}x' &= -x \ y' &=-y \ z' &=z + x^2 + y^2. end{align}]
其在原点的线性化系统的特征值为1和-1(二重)。坐标变换
[egin{align} u &=x \ v &=y \ w &= z + frac{1}{3}(x^2 + y^2) end{align}]
将这个非线性系统化成下面的线性系统：
[ egin{align} u' &= -u \ v' &= -v \ w' &= w. end{align}]
平面$w = 0$为这个线性系统的稳定平面。上面的坐标变换将这个平面变换成曲面：
[z = -frac{1}{3}(x^2 + y^2),]
这是$mathbb R^3$中过原点的一个抛物面，而且开口向下。这个曲面上的所有解都趋于原点；我们称它为这个非线性系统的稳定曲面(见图8.5)。
8.4 稳定性
在常微分方程及其应用中，平衡点的研究扮演着重要的角色。然而，为了保证一个平衡点有物理意义，它必须满足一定的稳定性假设。
一个平衡点称为稳定的，如果附近的解在将来都仍然逗留在附近。在动力系统的应用中，人们常常不能给出位置的准确值，而只是一个近似值，因而为了平衡点具有物理意义，它必须是稳定的。
更准确地说，假设$oldsymbol X^* in mathbb R^n$为微分方程
[ oldsymbol X' =oldsymbol F(oldsymbol X)]
的一个平衡点。则$oldsymbol X^*$为一个稳定的平衡点，如果对$oldsymbol X^*$在$mathbb R^n$中的任一邻域$mathcal O$，都存在$oldsymbol X^*$在$mathcal O$中的邻域$mathcal O_1$，使得任何满足初始条件$oldsymbol X(0) = oldsymbol X_0 in mathcal O_1$的解$oldsymbol X(t)$对所有的$t > 0$，都始终逗留在$mathcal O$中。(为什么不是$oldsymbol X(0) = oldsymbol X_0 in mathcal O$，的解$oldsymbol X(t)$对所有的$t > 0$，都始终逗留在$mathcal O$中呢？而是要求初始条件在一个更小的邻域内，而解可以在更大的一个邻域内就算稳定。)
另一种形式不同的稳定性是渐近稳定性。如果上面选取的$mathcal O_1$除了能保证稳定性之外，还满足
[mathop {lim }limits_{t o infty }oldsymbol X(t) = {oldsymbol X^*},]
则我们称$oldsymbol X^*$是渐近稳定的。
如果平衡点$oldsymbol X^*$不是稳定的，则称为不稳定的。这意味着存在$oldsymbol X^*$的一个邻域$mathcal O$使得对于$oldsymbol X^*$在$mathcal O$中的每一个邻域$mathcal O_1$，都至少存在一个从$oldsymbol X(0) in mathcal O_1$出发的解$oldsymbol X(t)$并不是对于所有的$t > 0$都整个地位于$mathcal O$中。(意思是无论如何限定一个邻域，至少可以找到一点，由它出发的解不会全部地位于$mathcal O$中)
汇点是渐近稳定的，因而也是稳定的。源点和鞍点都是不稳定平衡点的例子。对于$mathbb R^2$中的线性方程$oldsymbol X' = oldsymbol {AX}$，如果$oldsymbol A$具有纯虚的特征值，则原点就是一个稳定但非渐近稳定的平衡点(真是个好例子!)。这个例子在应用中的重要性是很有限的(著名的调和振子除下)，这么说的理由是，在8.1节中，我们已经看到，任何微小的非线性扰动都可能破坏它的这一性质；甚至是一个小的线性扰动都能够将一个中心变成一个汇点或源点。
于是，如果系统在一个平衡点处的线性化系统是双曲的，则我们可以立刻确定该平衡点的稳定性。遗憾的是，应用中出现的许多重要的平衡点都是非双曲的。如果有一个技巧能够确定所有情形的平衡点的稳定性，那就太好了。再次令人遗憾的是，确定稳定性，没有这样万能的方法，而只能通过找出系统的所有解，而这即使可能，也往往是很困难的。在下一章，我们将给出几种技巧使得在一些特殊情形，我们可以确定稳定性。
8.5 分岔
在这一节，我们将描述非线性系统中出现的一些简单的分岔例子。我们考虑一族系统
[X'=F_a(X),]
其中$a$为实参数。我们假设$F_a$以$C^infty$的方式依赖于$a$。当$a$变化时，如果系统的解的结构发生了“显著”的改变，就称出现了一个分岔。最简单的分岔就是当$a$变化时，平衡解的数目发生了变化。
例 考虑一阶方程
[x'=f_a(x)=x^2+a.]
当$a=0$时，$x=0$是它的唯一的平衡点。注意，$f'_0(0)=0$，而$f''_0(0) e 0$。当$a>0$时，对所有的$x$，都有$f_a(x)>0$，因而方程没有平衡点；但当$a<0$时，该方程有一对平衡点。于是，当参数经过$a=0$时，出现了分岔。
这类分岔称为鞍结分岔。在鞍结分岔中，存在包含分岔值$a_0$的一个区间以及另一个在$x$轴上的区间$I$，使得该微分方程
(1)当$a<a_0$时在$I$中有两个平衡点；
(2)当$a=a_0$时在$I$中有一个平衡点；
(3)当$a>a_0$时在$I$中没有平衡点。
当然，分岔也可以“按相反的方向”出现，所谓相反的方向是指当$a<a_0$时没有平衡点。实际上，上面的例子就是一阶方程的典型分岔。
定理 (鞍结分岔)假设一阶微分方程$x'=f_a(x)$满足
[f_{a_0}(x_0)=0;(2)f'_{a_0}(x_0)=0;(3)f''_{a_0}(x_0) e 0;(4)frac{partial f_{a_0}}{partial a}(x_0) e 0.]
则该微分方程在$a=a_0$处出现一个鞍结分岔。
回忆一下，所谓$x' = f_a(x)$的分岔图就是将不同参数$a$所对应的方程的相直线画在一起形成的图。图8.6所示的是一个典型的鞍结分岔图。
例 (叉分岔)考虑
[x'=x^3-ax.]
当$a>0$时，该方程有3个平衡点，分别是$x=0$以及$x=pm sqrt a$。当$a le 0$时，$x=0$是唯一的平衡点。共分岔图见图8.7，从中可以看出为什么这样称呼这种分岔。
现在我们来看几个高维的分岔。平面中的鞍结分岔类似于它相应的一维情形，只不过现在可以看出“鞍点”在哪里。
例 考虑系统
[egin{align} x' &=x^2+a \ y' &=-y. end{align}]
当$a=0$时，这是8.1节中曾经考虑过的一个系统。此时，方程在原点处有唯一的平衡点，而且相应的线性化系统有一个零特征值。
当$a$缓过$a=0$时，鞍结分岔就出现了。当$a>0$时，我们有$x'>0$，因而所有的解都向右边运动；此时，平衡点不见了。当$a<0$时，我们有一对平衡点，它们是$(pm sqrt{-a},0)$。相应的线性化系统是
[oldsymbol X' = egin{pmatrix} 2x & 0 \ 0 & -1 end{pmatrix} oldsymbol X.]
从而$(- sqrt{-a},0)$是一个汇点，$(sqrt{-a},0)$是一个鞍点。注意，在直线$x=pm sqrt{-a}$上，$x'=0$，因而这两条线上的所有的解都始终逗留在这两条线上。又由于$y'=-y$，这些解都笔直地趋于相应的平衡点。该分岔的略图见图8.8。
下面的例子表明，鞍结分岔可能对解的大范围行为产生影响。
例 考虑由极坐标给出的系统
[egin{align} r' &=r-r^3 \ heta' &=sin^2 heta + a, end{align}]
这里$a$也是一个参数。由于当$r=0$时，$r'=0$，所以原点总是一个平衡点。由于当$a>0$时，$ heta' >0$，从而此时方程没有其它的平衡点。当$a=0$时，将多出2个平衡点，它们分别是位于$(r, heta) = (1,0)$和$(r, heta) = (1,pi)$。当$-1 < a <0$时，在圆周$r=1$上有4个平衡点，它们分别对应于方程
[sin^2 heta = -a]
的4个根。将这4个根记为$ heta_pm, heta_pm + pi$，这里我们假设$0 < heta_+ < pi /2, -pi /2 < heta_- <0$。相图如图8.9。
前面的例子都是描述当线性系统具有零特征值时所出现的分岔的特点。
例 (霍普夫分岔)考虑系统
[egin{align} x' &= ax - y -x(x^2+y^2) \ y' &=x+ay -y(x^2+y^2). end{align}]
该系统在原点有一个平衡点，其线性化系统为
[oldsymbol X' = egin{pmatrix} a & -1 \ 1 & a end{pmatrix} oldsymbol X,]
其特征值为$apm ext i$，因而我们期望在$a=0$时出现分岔。
为了看出当$a$经过0时发生的现象，我们变换到极坐标下考虑。此时系统变成
[egin{align} r' &= ar-r^3 \ heta' &= 1. end{align}]
由于$ heta' e 0$，可见原点为该系统的唯一平衡点。当$a<0$时，由于对所有的$r>0，ar-r^3<0$，故原点是一汇点。从而，此时所有的解都趋于原点。当$a>0$时，平衡点变成为一个源点。但是，还发生了些什么？当$a>0$时，如果$r=sqrt a$，则$r'=0$，从而半径为$sqrt a$的圆周是一个周期为$2pi$的周期解。此时，我们还有，如果$0<r<sqrt a$，则$r'>0$，而如果$r>sqrt a$则$r'<0$，从而所有的非零解当$t o infty$时都盘旋地趋向这个周期解。
这种类型的分岔称为霍普夫分岔。于是，在一个霍普夫分岔中，不出现新的平衡点，而是当$a$经过分岔值时在平衡点产生了一个周期解(见图8.10)。
注：有必要对Hopf分岔做更深入的了解!