后缀自动机学习笔记

昨天看了一下午后缀自动机，终于有了一点心得，特地来做一下笔记。

Definitions

首先不加证明地给出几个定义和引理：

DFA(有限状态自动机)

有限状态自动机的功能是识别字符串，令一个自动机A，若它能识别字符串S，就记为A(S)=True，否则A(S)=False。
自动机由五个部分组成，alpha：字符集，state：状态集合，init：初始状态，end：结束状态集合，trans：状态转移函数。
不妨令trans(s,ch)表示当前状态是s，在读入字符ch之后，所到达的状态。
如果trans(s,ch)这个转移不存在，为了方便，不妨设其为null，同时null只能转移到null。
null表示不存在的状态。
同时令trans(s,str)表示当前状态是s，在读入字符串str之后，所到达的状态。

后缀自动机

就是能够识别一个串的所有后缀的自动机。后面我们可以知道，他也可以识别子串。

right集合

对于一个状态，我们认为这个状态代表了一个前缀长度为((len_{fa}, len_s])的所有后缀，他们的right集合都是相同的。
对于right集合，我们有两个状态的right集合要么不相交，要么一个是另一个的子集。所以我们结合这种关系，可以构造出一棵parent树，其中fa是right阶最小的包含孩子的状态。可以发现，考虑到每个状态到start的路径是连续的，所以这个parent树就是反串的后缀树。
后缀自动机的目标就是去维护所有状态的上述性质，并且考虑到状态是连续的子串，我们还需要去维护他们之间的转移。

How to construct

我们采用增量法来构造后缀自动机。
假设现在的状态为p，新的状态为np，从p的所有子串映射到np的所有子串要添加的字符为c，我们显然首先要添加一条从p到np标号为c的边，然后，因为每个状态到根的路径都代表了上一个字符的后缀，所以，这条路径上的所有节点增加一个字符之后，都可以成为新串的后缀，都有可能带来right集合的改变，既然我们要维护right集合，我们就要去查看这些状态。
考察这条路径上的节点(p_i)，假设(p_i)没有一条标号为c的边，那很好，我们直接连边(p_i)到q即可。
对于节点(p_i)已经有了一条标号为c的边，我们设原来可以转移到状态q，那么我们新增的字符c就一定会带来q的改变。
有两种情况：

1. 如果(len_q = len_{p_i}+1)，那么q的所有子串都是由p转移过来的，那么我们直接在right集合中新增一个最后的节点就好了。
2. 如果(len_q > len_{p_i} + 1)，在这种情况下，q的子串不一定从p转移过来，我们把这些子串拆成两个集合，第一个集合为从p转移过来的，记为nq，即(len_{nq} = len_{p_i}+1)，考虑到p的所有fa都是p的后缀，所以我们把所有的fa全部把连向q的边改为连向nq，根据之前的推理，q仍然有边连向。nq的除了right的所有属性与q一致。

考虑这样做之后的par树关系，不难发现，我们应该设(fa_q = fa_{np} = q)。

Application

下面不加证明地给出几个SAM的性质。

1. 每个状态s代表的串的长度是区间((len_{fa_s}, len_s])。
2. 每个状态s代表的所有串在原串中的出现次数及right集合相同。
   right集合可以使用平衡树启发式合并来求。
3. 在parent树中，每个状态的right集合是他的父状态right集合的子集。
4. SAM的parent树是原串的反向前缀树。
   反向前缀树的定义是：把每一个前缀的反串插入到一个trie中，并且把没有分支的链合并。
   这个性质是容易发现的。考虑一个前缀在后缀自动机上的状态，我们一直沿fa指针走，每次都会变成当前串的一个后缀，直到空串，反过来看这个过程，就是在沿着反向前缀树从上往下走。
   那么，如果我们求出反串的SAM，那么他的parent树就是原串的后缀树。

Materials

下面列出了我在学习SAM的时候使用的一些学习资料。
[1]陈立杰冬令营营员交流
[2]fanhq的博客
[3]后缀自动机及其应用——张天扬,2015国家队论文