动态规划之状态压缩

状态压缩动态规划（简称状压dp）是另一类非常典型的动态规划，通常使用在NP问题的小规模求解中，虽然是指数级别的复杂度，但速度比搜索快，其思想非常值得借鉴。

为了更好的理解状压dp，首先介绍位运算相关的知识。

1.’&’符号，x&y，会将两个十进制数在二进制下进行与运算，然后返回其十进制下的值。例如3(11)&2(10)=2(10)。

2.’|’符号，x|y，会将两个十进制数在二进制下进行或运算，然后返回其十进制下的值。例如3(11)|2(10)=3(11)。

3.’^’符号，x^y，会将两个十进制数在二进制下进行异或运算，然后返回其十进制下的值。例如3(11)^2(10)=1(01)。

4.’<<’符号，左移操作，x<<2，将x在二进制下的每一位向左移动两位，最右边用0填充，x<<2相当于让x乘以4。相应的，’>>’是右移操作，x>>1相当于给x/2，去掉x二进制下的最有一位。

这四种运算在状压dp中有着广泛的应用，常见的应用如下：

1.判断一个数字x二进制下第i位是不是等于1。

方法：if ( ( ( 1 << ( i - 1 ) ) & x ) > 0)

将1左移i-1位，相当于制造了一个只有第i位上是1，其他位上都是0的二进制数。然后与x做与运算，如果结果>0，说明x第i位上是1，反之则是0。

2.将一个数字x二进制下第i位更改成1。

方法：x = x | ( 1<<(i-1) )

证明方法与1类似，此处不再重复证明。

3.把一个数字二进制下最靠右的第一个1去掉。

方法：x=x&(x-1)

感兴趣的读者可以自行证明。

下面来一道状态压缩的例题（然而弱鸡的我例题都做了好久。。。）

https://www.luogu.org/problemnew/show/1896

整理一下思路。

所谓的状态压缩，我个人认为是用时间换方便，将所有情况汇集在一个数里，本来是要用多个维度才能表示的情况换作一个维度。

可能一道题有多种状态，而每种状态都需要我们去讨论，而如果为每个状态都单独开一个数组来存储状态，那就GG了，根本存不下。

所以我们就把10进制的转换为二进制来存储，二进制每一位0,1都可以表示选择与否，一个二进制数就可以完成对多种状态的存储。

然而对与时间复杂度却是指数级的，所以对于数据范围大的，这个就无法使用了。

来波代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
long long f[100][900][1000];//f[行数][国王个数][状态];
int way[105];
int num[105];
int find(int n,int all)
{
    int j=0;
    for(int i=0;i<=all;i++)
    {
        if((i&(i<<1))==0&&(i&(i>>1))==0)
        {            
            j++;
            way[j]=i;
            int x=i;
            int nn=0;
            while(x>0)
            {
                nn++;
                x=x-(x&(-x));
                //每执行一次这项操作，会消去x作为二进制数时最右端的一个1。 
            }
            num[j]=nn;
        }
    }
    return j;
}
bool search(int s2,int s1)//判断两种状态是否冲突。
{
    if((s2&(s1<<1))==0&&(s1&(s2<<1))==0&&(s1&s2)==0)
    return true;
    else
    return false;
}
int main()
{
    int n,k1;
    scanf("%d%d",&n,&k1);
    int all=1<<n;
    all--;//总共存在的状态数
    int nway=find(n,all);//找出一行中不会冲突的最多方案的个数
    for(int i=1;i<=nway;i++)
    {
        f[1][num[i]][way[i]]=1;
    }
    for(int i=2;i<=n;i++)//行数
    for(int j=1;j<=nway;j++)//上一行状态 
    for(int t=1;t<=nway;t++)//这一行状态 
    {
        if(search(way[j],way[t]))
        {
            for(int g=num[t];g<=k1;g++)
            {
                f[i][g][way[t]]+=f[i-1][g-num[t]][way[j]];
                //状态转移方程。
            }
        }
    }
    long long tot=0ll;//记住要使用long long型不然就像我一样交了半天都不对。
    for(int i=1;i<=nway;i++)
    {
        tot+=f[n][k1][way[i]];
    }
    printf("%lld",tot);
    return 0;
}