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  • tarjan——强连通分量+缩点

    tarjan陪伴强联通分量

    生成树完成后思路才闪光

    欧拉跑过的七桥古塘

    让你 心驰神往”----《膜你抄》

     

    自从听完这首歌,我就对tarjan开始心驰神往了,不过由于之前水平不足,一直没有时间学习。这两天好不容易学会了,写篇博客,也算记录一下。

     

    一、tarjan求强连通分量

    1、什么是强连通分量?

    引用来自度娘的一句话:

    “有向图强连通分量:在有向图G中,如果两个顶点vi,vj间(vi>vj)有一条从vi到vj的有向路径,同时还有一条从vj到vi的有向路径,则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通,称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图,称为强连通分量(strongly connected components)。”

    一脸懵逼......不过倒也不难理解。

    反正就是在图中找到一个最大的图,使这个图中每个两点都能够互相到达。这个最大的图称为强连通分量,同时一个点也属于强连通分量。

    如图中强连通分量有三个:1-2-3,4,5

     

    2、强连通分量怎么找?

    噫......当然,通过肉眼可以很直观地看出1-2-3是一组强连通分量,但很遗憾,机器并没有眼睛,所以该怎么判断强连通分量呢?

    如果仍是上面那张图,我们对它进行dfs遍历。

    可以注意到红边非常特别,因为如果按照遍历时间来分类的话,其他边都指向在自己之后被遍历到的点,而红边指向的则是比自己先被遍历到的点。

     

    如果存在这么一条边,那么我们可以yy一下,emmmm.......

    从一个点出发,一直向下遍历,然后忽得找到一个点,那个点竟然有条指回这一个点的边!

    那么想必这个点能够从自身出发再回到自身

    想必这个点和其他向下遍历的该路径上的所有点构成了一个环,

    想必这个环上的所有点都是强联通的。

    但只是强联通啊,我们需要求的可是强连通分量啊......

     

    那怎么办呢?

    我们还是yy出那棵dfs树

    不妨想一下,什么时候一个点和他的所有子孙节点中的一部分构成强连通分量?

    他的子孙再也没有指向他的祖先的边,却有指向他自己的边

    因为只要他的子孙节点有指向祖先的边,显然可以构成一个更大的强联通图。

     

    比如说图中红色为强连通分量,而蓝色只是强联通图

     

    那么我们只需要知道这个点u下面的所有子节点有没有连着这个点的祖先就行了。

    但似乎还有一个问题啊......

     

    我们怎么知道这个点u它下面的所有子节点一定是都与他强联通的呢?

    这似乎是不对的,这个点u之下的所有点不一定都强联通

    那么怎么在退回到这个点的时候,知道所有和这个点u构成强连通分量的点呢?

    开个栈记录就行了

    什么?!这么简单?

    没错~就是这么简单~

    如果在这个点之后被遍历到的点已经能与其下面的一部分点(也可能就只有他一个点)已经构成强连通分量,即它已经是最大的。

    那么把它们一起从栈里弹出来就行了。

    所以最后处理到点u时如果u的子孙没有指向其祖先的边,那么它之后的点肯定都已经处理好了,一个常见的思想,可以理解一下。

    所以就可以保证栈里留下来u后的点都是能与它构成强连通分量的。

     

    似乎做法已经明了了,用程序应该怎么实现呢?

     

    所以为了实现上面的操作,我们需要一些辅助数组

    (1)、dfn[ ],表示这个点在dfs时是第几个被搜到的。

    (2)、low[ ],表示这个点以及其子孙节点连的所有点中dfn最小的值

    (3)、stk[ ],表示当前所有可能能构成是强连通分量的点。

    (4)、onstk[ ],表示一个点是否在stack[ ]数组中。

    那么按照之上的思路,我们来考虑这几个数组的用处以及tarjan的过程。

     

    假设现在开始遍历点u:

     

    (1)、首先初始化dfn[u]=low[u]=第几个被dfs到

    dfn可以理解,但为什么low也要这么做呢?

     因为low的定义如上,也就是说如果没有子孙与u的祖先相连的话,dfn[u]一定是它和它的所有子孙中dfn最小的(因为它的所有子孙一定比他后搜到)。

     

    (2)、将u存入stk[ ]中,并将onstk[u]设为true

    stk[ ]有什么用?

    如果u在stack中,u之后的所有点在u被回溯到时u和栈中所有在它之后的点都构成强连通分量。

     

    (3)、遍历u的每一个能到的点,如果这个点dfn[ ]为0,即仍未访问过,那么就对点v进行dfs,然后low[u]=min{low[u],low[v]}

    low[ ]有什么用?

    应该能看出来吧,就是记录一个点它最大能连通到哪个祖先节点(当然包括自己)

    如果遍历到的这个点已经被遍历到了,那么看它当前有没有在stack[ ]里,如果有那么low[u]=min{low[u],low[v]}

    如果已经被弹掉了,说明无论如何这个点也不能与u构成强连通分量,因为它不能到达u

    如果还在栈里,说明这个点肯定能到达u,同样u能到达他,他俩强联通。

     

    (4)、假设我们已经dfs完了u的所有的子树那么之后无论我们再怎么dfs,u点的low值已经不会再变了。

    那么如果dfn[u]=low[u]这说明了什么呢?

    再结合一下dfn和low的定义来看看吧

    dfn表示u点被dfs到的时间,low表示u和u所有的子树所能到达的点中dfn最小的。

    这说明了u点及u点之下的所有子节点没有边是指向u的祖先的了,即我们之前说的u点与它的子孙节点构成了一个最大的强连通图即强连通分量

    此时我们得到了一个强连通分量,把所有的u点以后压入栈中的点和u点一并弹出,将它们的vis[ ]置为false,如有需要也可以给它们打上相同标记(同一个数字)

    二、tarjan缩点

    其实这也是利用了tarjan求强连通分量的方法,对于一些贡献具有传导性,比如友情啊、路径上的权值啊等等。

    思想就是因为强连通分量中的每两个点都是强连通的,可以将一个强连通分量当做一个超级点,而点权按题意来定。

    我们来看一道题 受欢迎的牛

    【代码实现】

     1 #include<cstdio>
     2 #include<algorithm>
     3 #include<cctype>
     4 #include<vector>
     5 #include<stack>
     6 using namespace std;
     7 void read(int &x)
     8 {
     9     int f;char ch;
    10     while(!isdigit(ch=getchar())&&ch!='-'); ch=='-'?(x=0,f=-1):(x=ch-'0',f=1);
    11     while(isdigit(ch=getchar())) x=x*10+ch-'0';
    12 }
    13 const int N=1e4+5;
    14 const int M=5e4+5;
    15 const int INF=1e9+7;
    16 struct sd{
    17     int to,next;
    18 }edge[M];
    19 int head[N],dfn[N],low[N],belong[N],fa[N],cnt,bccnt,n,m,ans;
    20 bool onstk[N];
    21 vector<int> bcc[N];
    22 stack<int> stk;
    23 int find(int v) {if(fa[v]!=v) return fa[v]=find(fa[v]);return fa[v];}
    24 void add_edge(int from,int to)
    25 {
    26     edge[++cnt].next=head[from];
    27     edge[cnt].to=to;
    28     head[from]=cnt;
    29 }
    30 void tarjan(int v)
    31 {
    32     dfn[v]=low[v]=++cnt,onstk[v]=1,stk.push(v);
    33     for(int i=head[v];i;i=edge[i].next)
    34     {
    35         int to=edge[i].to;
    36         if(!dfn[to])
    37         {
    38             tarjan(to);
    39             low[v]=min(low[to],low[v]);
    40         }
    41         else if(low[v]>dfn[to]&&onstk[to]) 
    42         low[v]=dfn[to];
    43     }
    44     if(dfn[v]==low[v])
    45     {
    46         ++bccnt;
    47         while(1)
    48         {
    49             int node=stk.top();stk.pop();
    50             bcc[bccnt].push_back(node),onstk[node]=0,belong[node]=bccnt;
    51             if(node==v) break;
    52         }
    53     }
    54 }
    55 int main()
    56 {
    57     int from,to;
    58     read(n),read(m);
    59     for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
    60     while(m--) 
    61     {
    62         read(from),read(to),add_edge(from,to);
    63         int ffa=find(from),ffb=find(to);
    64         if(ffa!=ffb) fa[ffb]=ffa;
    65     }cnt=0;
    66     for(int i=1;i<n;i++) if(find(i)!=find(i+1)) {printf("0
    ");return 0;}
    67     for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i); cnt=0;
    68     for(int i=1;i<=bccnt;i++)
    69     {
    70         int out=0;
    71         for(int j=bcc[i].size()-1;j>=0;j--)
    72         {
    73             int gg=bcc[i][j];
    74             for(int k=head[bcc[i][j]];k;k=edge[k].next)
    75             if(belong[edge[k].to]!=i) out++;
    76         }
    77         if(out==0) cnt++,ans=bcc[i].size();
    78     }
    79     if(cnt>1) printf("0");
    80     else printf("%d",ans);
    81     return 0;
    82 }
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