素数的判断方法(从一般到高效)

http://dongxicheng.org/structure/prime/

1. 素数判定问题

　　素数判定问题是一个非常常见的问题，本文介绍了常用的几种判定方法。

2. 直观判断

　　素数的定义是，除了能被1和它本身整除而不能被其他任何数整除的数。根据素数定义 只需要用2到n-1去除n，如果都除不尽，则n是素数，否则，只要其中有一个数能整除则n不是素数。

bool prime_1(int n){
    for(int i=2;i<n;i++){
        if(n%i==0)
            return flase;//不是素数 
    }
    else
        return true;//是素数 
}

3. 直观判断改进

　　上述判断方法，明显存在效率极低的问题。对于每个数n，其实并不需要从2判断到n-1，我们知道，一个数若可以进行因数分解，那么分解时得到的两个数一定是一个小于等于sqrt(n)，一个大于等于sqrt(n)，据此，上述代码中并不需要遍历到n-1，遍历到sqrt(n)即可，因为若sqrt(n)左侧找不到约数，那么右侧也一定找不到约数。C++代码如下：

bool prime_2(int n){
    for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
        if(n%i==0)
            return flase;//不是素数 
        else
            return true;//是素数 
}

3. 筛法求素数

　更高效地素数判断方法应该是将素数预先保存到一个素数表中，当判断一个数是否为素数时，直接查表即可。这种方法需要解决两个问题：

　(1) 怎样快速得到素数表？（采用筛选方法）

　(2) 怎样减少素数表的大小？（采用位图数据结构）

　对于1到n全部整数，逐个判断它们是否是素数，找出一个非素数，就把它挖掉，最后剩下的就是素数。具体方法是：

　<1> 定义is_primer[i] = true;

　<2> 从2开始，依次遍历整个primer(直到sqrt(N))，如果primer[i]=true,则primer[n*i]=false

   如1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，则

   从2开始遍历：

primer[2]=true，则primer[4]= primer[6]= primer[8]= primer[10]= false，2的倍数

primer[3]=true，则primer[6]= primer[9]= false，3的倍数

#include<stdio.h>
#define M 2000000
char A[2000000]={""};
int S[150001]={0};
int main()
{
    int m,n,i,j,k=0;
    for(i=2;i<M;i++)
        if(!A[i])
        {
            for(j=i+i;j<M;j+=i)
                A[j]=1;
            S[++k]=i;
        }
        for(i=0;i<150001;i++)
            printf("%d	",S[i]);
        return 0;
}

哈希打表输出2000000以内的所有素数：

//筛法求素数，哈希表查找
#include<stdio.h>
#define MAX 2000000
int prime[2000000];
int main(){
    for(int i=2;i<=MAX;i++) 
        prime[i]=1;
    prime[1]=0;
    for(int i=2;i<=MAX;i++)//打表 
            for(int j=2*i;j<=MAX;j+=i)
                prime[j]=0;//偶数标记0 
    for(int i=2;i<=2000000;i++)
        if(prime[i]==1)
            printf("%d	",i);//输出素数
    return 0; 
} 

至今为止，没有任何人发现素数的分布规律，也没有人能用一个公式计算出所有的素数。关于素数的很多的有趣的性质或者科学家的努力，如：

(1) 高斯猜测，n以内的素数个数大约与n/ln(n)相当，或者说，当n很大时，两者数量级相同。这就是著名的素数定理。

(2) 十七世纪费马猜测，2的2^n次方+1，n=0，1，2…时是素数，这样的数叫费马素数，可惜当n=5时，2^32+1就不是素数，至今也没有找到第六个费马素数。

(3) 18世纪发现的最大素数是2^31-1，19世纪发现的最大素数是2^127-1，20世纪末人类已知的最大素数是2^859433-1，用十进制表示，这是一个258715位的数字。

(4) 孪生素数猜想：差为2的素数有无穷多对。目前知道的最大的孪生素数是1159142985×2^2304－1和1159142985×2^2304＋1。

(5) 歌德巴赫猜想：大于2的所有偶数均是两个素数的和，大于5的所有奇数均是三个素数之和。其中第二个猜想是第一个的自然推论，因此歌德巴赫猜想又被称为1+1问题。我国数学家陈景润证明了1+2，即所有大于2的偶数都是一个素数和只有两个素数因数的合数的和。国际上称为陈氏定理。（摘自《http://chuanbindeng.blog.163.com/blog/static/67886226200982892139468/》）