本内容转自：https://www.cnblogs.com/Kobe10/p/6306183.html#undefined，参考：https://blog.csdn.net/zzran/article/details/8108787 为了方便加深印象，自己又照着重新写了一遍。人家这篇博客写的有思想、有深度，想着要是哪一天我也能独自总结出这样的精髓，一定要买颗糖奖励一下，哈哈.......皮一下?
第一次接触到这种比较伤脑细胞的题，这是一个关于位运算比较简单的入门题，原题是这样描述的：在一个整型数组中有一个元素只出现一次，其它元素都出现两次。求出只出现一次的元素。（要求：线性时间复杂度，不能使用额外空间。聪明的你能搞定吗？）。很明确的说，我不聪明，也搞不定，按照我那榆木脑袋的思维，一定会先给它们排排序，再找出那只出现一次的的元素。程序代码如下：
1 //很明显这里数组元素的个数一定是奇数个 2 #include<iostream> 3 #include<algorithm> 4 using namespace std; 5 int main(){ 6 int n; 7 cin>>n; 8 int a[n]; 9 for(int i=0;i<n;i++) 10 cin>>a[i]; 11 sort(a,a+n);//排序 12 for(int i=0;i<n;i+=2){ 13 if(a[i]==a[i+1]) 14 continue; 15 else{ 16 cout<<a[i]<<endl; 17 break; 18 } 19 } 20 return 0; 21 }
上面程序数据测试没有问题，但网站无法AC，说得好听点：就是无法达到题目所要求的线性时间复杂度，说得难听点：这代码写了跟没写一样。接下来请看大神的思维：
这个题目的突破口在哪里？题目为什么要强调有一个数字出现一次，其他的出现两次？我们想到了异或运算的性质：（任何一个数字异或它自己都等于0，任何一个数字和0异或都等于它本身）也就是说，如果我们从头到尾依次异或数组中的每一个数字，那么最终的结果刚好是那个只出现一次的数字，因为那些出现两次的数字全部在异或中抵消掉了。
举个栗子：2 3 4 2 3
所有数字依次异或运算：2 ^ 3 ^ 4 ^ 2 ^ 3 = (2 ^ 2) ^ (3 ^ 3) ^ 4= 0 ^ 0 ^ 4 = 4 （满足分配律）
根据以上思维，代码如下：
1 #include<iostream> 2 using namespace std; 3 int main(){ 4 int n,num; 5 cin>>n; 6 int a[n]; 7 for(int i=0;i<n;i++) 8 cin>>a[i]; 9 for(int i=0;i<n;i++) 10 num^=a[i]; 11 cout<<num<<endl; 12 return 0; 13 }
当你看到这的时候，你以为就完了？？？兄弟请不要急忙离开，请往下看，还有一个更头疼，更伤脑筋的问题：一个整型数组里除了两个数字之外，其他的数字都出现了两次。请写程序找出这两个只出现一次的数字。要求时间复杂度是O(n)，空间复杂度是O(1)。
这是上一问题的升级版，如果还是用排序的方法，很遗憾，那你就可以淘汰出局了！有了上面简单问题的解决方案之后，我们回到原始的问题。如果能够把原数组分为两个子数组。在每个子数组中，包含一个只出现一次的数字，而其他数字都出现两次。如果能够这样拆分原数组，按照前面异或的办法就是分别求出这两个只出现一次的数字了。我们还是从头到尾依次异或数组中的每一个数字，那么最终得到的结果就是两个只出现一次的数字的异或结果。因为其他数字都出现了两次，在异或中全部抵消掉了。由于这两个数字肯定不一样，那么这个异或结果肯定不为0，也就是说在这个结果数字的二进制表示中至少就有一位为1。我们在结果数字中找到第一个为1的位的位置，记为第N位。现在我们以第N位是不是1为标准把原数组中的数字分成两个子数组，第一个子数组中每个数字的第N位都为1，而第二个子数组的每个数字的第N位都为0（不知道这段黑体字你有没有看懂，看不懂的话自己在草稿纸上举个例子就很容易明白了）。现在我们已经把原数组分成了两个子数组，每个子数组都包含一个只出现一次的数字，而其他数字都出现了两次。因此到此为止，所有的问题我们都已经解决。
基于上述思路，我们不难写出如下代码：
void FindNumsAppearOnce(int data[], int length, int &num1, int &num2){ if (length < 2) return; int resultExclusiveOR = 0; for (int i = 0; i < length; ++ i) resultExclusiveOR ^= data[i];//得到数组中只出现一次的数字的异或结果 unsigned int indexOf1 = FindFirstBitIs1(resultExclusiveOR);//索引异或结果的二进制位数中第一位为1的位数（从右向左第一位），并将位数存放在indexOf1中 num1 = num2 = 0; for (int j = 0; j < length; ++ j){//分组 if(IsBit1(data[j], indexOf1)) num1 ^= data[j]; else num2 ^= data[j]; } } unsigned int FindFirstBitIs1(int num){//找到第一位为1的位数 int indexBit = 0; while (((num & 1) == 0) && (indexBit < 32)){//这里<32，是为了防止越界，因为int数据类型最大只有2^32，只有32位 num = num >> 1; ++ indexBit; } return indexBit; } bool IsBit1(int num, unsigned int indexBit){//判断是否为1 num = num >> indexBit; return (num & 1); }
完整代码如下：
1 #include<iostream> 2 using namespace std; 3 int find_1(int num){ 4 int m=0;//存放第一位为1的位数 5 while(((m&1)==0)&&m<32){ 6 num=num>>1;//如果第一位不是1，右移继续判断，直到为1停止，并返回m 7 m++; 8 } 9 return m; 10 } 11 bool is_1(int x,int m){ 12 x=x>>m; 13 return (x&1); 14 } 15 void f(int a[],int n,int &num1,int &num2){ 16 if(n<=2) 17 return ; 18 int num1_OR_num2=0;//存放只出现一次两个数的异或结果 19 for(int i=0;i<n;i++) 20 num1_OR_num2^=a[i]; 21 int locateIS1=find_1(num1_OR_num2);//得到异或结果中第一位为1的位数 22 num1=num2=0; 23 for(int i=0;i<n;i++){ 24 if(is_1(a[i],locateIS1)){ 25 num1^=a[i]; 26 } 27 else{ 28 num2^=a[i]; 29 } 30 } 31 } 32 int main(){ 33 int n,num1,num2; 34 cin>>n; 35 int a[n]; 36 for(int i=0;i<n;i++) 37 cin>>a[i]; 38 f(a,n,num1,num2); 39 cout<<num1<<" "<<num2<<endl; 40 return 0; 41 }
运行结果如下：
当你看到这时，请君稍安勿躁，请继续再往下看：
题目：一个数组中有三个数字a、b、c只出现一次，其他数字都出现了两次。请找出三个只出现一次的数字。（与最前面的一题不同，前面是2个不同，现在是3个）
分析：在这道题中，如果我们能够找出一个只出现一次的数字，剩下两个只出现一次的数字就很容易找出来了。如果我们把数组中所有数字都异或起来，那最终的结果（记为x）就是a、b、c三个数字的异或结果（x=a^b^c）。其他出现了两次的数字在异或运算中相互抵消了。我们可以证明异或的结果x不可能是a、b、c三个互不相同的数字中的任何一个。我们用反证法证明。假设x等于a、b、c中的某一个。比如x等于a，也就是a=a^b^c。因此b^c等于0，即b等于c。这与a、b、c是三个互不相同的三个数相矛盾。由于x与a、b、c都各不相同，因此x^a、x^b、x^c都不等于0。我们定义一个函数f(n)，它的结果是保留数字n的二进制表示中的最后一位1，而把其他所有位都变成0。比如十进制6表示成二进制是0110，因此f(6)的结果为2（二进制为0010）。f(x^a)、f(x^b)、f(x^c)的结果均不等于0。接着我们考虑f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)的结果。由于对于非0的n，f(n)的结果的二进制表示中只有一个数位是1，因此f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)的结果肯定不为0。这是因为对于任意三个非零的数i、j、k，f(i)^f(j)的结果要么为0，要么结果的二进制结果中有两个1。不管是那种情况，f(i)^f(j)都不可能等于f(k)，因为f(k)不等于0，并且结果的二进制中只有一位是1。于是f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)的结果的二进制中至少有一位是1。假设最后一位是1的位是第m位。那么x^a、x^b、x^c的结果中，有一个或者三个数字的第m位是1。
接下来我们证明x^a、x^b、x^c的三个结果第m位不可能都是1。还是用反证法证明。如果x^a、x^b、x^c的第m位都是1，那么a、b、c三个数字的第m位和x的第m位都相反，因此a、b、c三个数字的第m位相同。如果a、b、c三个数字的第m位都是0，x=a^b^c结果的第m位是0。由于x和a两个数字的第m位都是0，x^a结果的第m位应该是0。同理可以证明x^b、x^c第m位都是0。这与我们的假设矛盾。如果a、b、c三个数字的第m位都是1，x=a^b^c结果的第m位是1。由于x和a两个数字的第m位都是1，x^a结果的第m位应该是0。同理可以证明x^b、x^c第m位都是0。这还是与我们的假设矛盾。因此x^a、x^b、x^c三个数字中，只有一个数字的第m位是1。于是我们找到了能够区分a、b、c三个数字的标准。这三个数字中，只有一个数字满足这个标准，而另外两个数字不满足。一旦这个满足标准数字找出来之后，另外两个数字也就可以找出来了。
代码如下：
1 #include<iostream> 2 #include<stdio.h> 3 using namespace std; 4 int get_first_bit(int num) 5 { 6 return num&~(num-1); 7 } 8 void get_two_unique_num(int *a,int n,int *num1,int *num2) 9 { 10 int result_code=0; 11 for(int i=0;i<n;i++) 12 result_code^=a[i]; 13 int diff=get_first_bit(result_code); 14 *num1=0; 15 *num2=0; 16 for(int i=0;i<n;i++) 17 { 18 if(a[i]&diff) 19 { 20 (*num1)^=a[i]; 21 } 22 else 23 { 24 (*num2)^=a[i]; 25 } 26 } 27 } 28 void get_three_unique_num(int *a,int n,int *num1,int *num2,int *num3) 29 { 30 int result_code=0; 31 for(int i=0;i<n;i++) 32 result_code^=a[i]; 33 int flag=0; 34 for(int i=0;i<n;i++) 35 flag^=get_first_bit(result_code^a[i]); 36 flag=get_first_bit(flag); 37 *num1=0; 38 for(int i=0;i<n;i++) 39 { 40 if(get_first_bit(result_code^a[i])==flag) 41 { 42 (*num1)^=a[i]; 43 } 44 } 45 for(int i=0;i<n;i++) 46 { 47 if(a[i]==(*num1)) 48 { 49 int temp=a[i]; 50 a[i]=a[n-1]; 51 a[n-1]=temp; 52 break; 53 } 54 } 55 get_two_unique_num(a,n-1,num2,num3); 56 } 57 int main() 58 { 59 int n; 60 cin>>n; 61 int a[n]; 62 for(int i=0;i<n;i++) 63 cin>>a[i]; 64 int num1,num2,num3; 65 get_three_unique_num(a,n,&num1,&num2,&num3); 66 cout<<num1<<" "<<num2<<" "<<num3<<endl; 67 return 0; 68 }
运行结果如下：
