HDU 2601 An Easy Problem (HDU 1st "Vegetable-Birds Cup" Programming Opening Contest)
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问题描述
当Teddy还是一个孩子的时候，他常常思考一些简单的数学问题。一天，Teddy在梦中遇见了一位叫“Rulai”的老人给出了这样的一个问题：
给定一个正整数$N$，你能计算出有多少种写出$N = ij + i + j$（其中$ i,j $是满足 $i ≤ j $的正整数）的方法吗？（注：换句话说也就是有多少组满足条件的正整数$i, j$）Teddy找到了$N$小于$10$的解，但是随着$N$增大，他就发现这个问题对自己来说太难了，以至于无法解决。
那么，作为聪明的ACMer，你能帮助Teddy解决这个问题，让他睡上一个好觉吗？
输入
第一行包含一个正整数 $T$，$T≤2000$，而后的T行内只有一个非负整数 $N$，$N<10^{10}$。
输出
对每一个测试样例，在一行内给出问题的解。
样例输入
2
1
3
样例输出
0
1
这道题要求给出满足条件的$i,j$的组合的个数。观察条件的式子$N=ij+i+j$，两边同时加上$1$，就可得到$N + 1 = ij + i + j + 1$，于是就有$N + 1 = (i + 1) (j + 1)$问题就可以转换为已知一个数$N′=N+1$，求其因子的问题了，即$N′ = pq$ ， $p ≤ q$。求因子，注意循环条件，可以用sqrt函数先求平方根来缩小遍历的范围（其实是将$O(n)$降低到了$O(sqrt{n})$）。我的C++实现如下：
1 #include<iostream>
2 #include<cmath>
3 int main()
4 {
5 using namespace std;
6 long long int N;
7 int n;
8 int mid;
9 int count;
10 long long int div;
11 scanf("%d", &n);
12 for (int k = 0; k < n; k++)
13 {
14 cin >> N;
15 mid = sqrt(N + 1);
16 count = 0;
17 for (long long int i = 2; i <= mid; i++)
18 {
19 div = (N + 1) / i;
20 if ((N + 1) % i == 0 && div >= i)
21 count++;
22 }
23 printf("%d
", count);
24 }
25 return 0;
26 }
ps.这个问题要求$N ≤ 10^{10}$，32位整数是要出现溢出的，这个需要留心一下。另外这个题被卡了两次常数TLE，之前看到有传闻说是printf scanf比C++ cin cout速度快，就使用了这两个C函数；另外在某些OJ上，64位整数用printf %lld %l64d兼容性并不好，Codeforces直接建议用cin，所以这里使用了cin。
另外这个题咋一看难度不是很大，似乎直接用两个循环穷举$i,j$（$i$从$0$到$sqrt{N}$，$j$从$i+1$到$sqrt{N}$）就可以了。不过留心题目给的时间限制和数据取值范围的话，$O(n)$的复杂度（两个$O(sqrt{n})$相乘）可能还是有问题的。我后来试着用这种方法写了一下，在我的i7 6800K @ 4.0GHz下，测试单个最大数据$10^{10}$时，已经使用了不下5秒，那么对于$T≈2000$的规模，TLE是必然的了。