树与二叉树详解

树与二叉树

树

树是n(n≥0)个结点的有限集合，n=0时称为空树，在任一非空树中
● 有且仅有一个称为根的结点。
● 其余的结点可分为m(m≥0)个互不相交的子集T1，T2…，Tm， 其中每个子集本身又是一棵树，并称其为根结点的子树。

1. 树的基本概念
   ● 双亲和孩子
   ● 兄弟：具有相同双亲的结点互为兄弟。
   ● 结点的度：一个结点的子树的个数记为该结点的度。
   ● 树的度：树中各结点的度的最大值
   ● 叶子结点：也称为终端结点，指度为零的结点。
   ● 内部结点：度不为零的结点称为分支结点或非终端结点。除根结点之外，分支结点也称为内部结点。
   ● 结点的层次：根为第一层，根的孩子为第二层，依此类推。
   ● 树的高度：一棵树的最大层次数记为树的高度（或深度）。
   ● 有序（无序）树：若将树中的结点的各子树看成是从左到右 具有次序的，即不能交换，则称该树为有序树，否则称为无序树。
   ● 森林：是m(m≥O)棵互不相交的树的集合

2. 树的存储结构
   ● 标准存储结构
   (1) 结点的数据
   (2)指向子结点的指针
   ● 带逆存储结构
   (1)结点的数据
   (2)指向子结点的指针
   (3)指向其父结点的指针

3. 树的遍历
   遍历是指对树中所有结点信息的访问，即依次对树中每个结点访问一次且仅访问一次。
   
   ● 前序遍历A B E F I J C D G H
   ● 后序遍历E I J F B C G H D A
   ● 层次遍历A B C D E F G H I J

二叉树

1. 二叉树(BinaryTree)是n(n≥o)个结点的有限集合，它或者是空树 (n=0)，或者是由一个根结点及两棵互不相交的、分别称为左 子树和右子树的二叉树所组成。

2. 二叉树与树的区别：
   ● 二叉树的结点的最大度为2，而树中不限制结点的度。
   ● 二叉树的结点的子树要区分左子树和右子树

3. 二叉树的性质
   (1)二叉树第i层上的结点数目最多为2i-1(i≥1)。
   (2)深度为k的二叉树至多有2k-1个结点(k≥1)。
   (3)在任意一棵二叉树中，若终端结点数为n0，度为2的结点 数为n2，则n0=n2+1。
   (4)具有n个结点的完全二叉树的深度为⌊log2n」+1。
   (5)对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层次自左至右进行 编号，则对任一结点i有：
   ●若i=1，则结点 i是二叉树的根，无双亲，若i>1，则其双 亲为⌊ i/2 」。
   ● 若2i>n，则结点i无左孩子，否则其左孩子为 2i。
   ● 若2i+1>n，则结点i无右孩子，否则其右孩子为 2i+1
   若深度为k的二叉树有2k-1个结点，则称其为满二叉树。
   深度为k、有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与 深度为k的满二叉树编号从1至n的结点一一对应时，称之为完全二叉树。
   

4. 二叉树的存储结构
   (1)顺序存储结构
   对完全二叉树既简单又节省空间，而对于一般二叉树则不 适用。
   (2)链式存储结构
   由于二叉树中结点包含有数据元素、左子树根、右子树根 及双亲等信息，因此可以用三叉链表或二叉链袭来存储二叉 树。链表的头指针指向二叉树的根结点。

5. 二叉树的遍历
   前序遍历：先访问根节点——左子树——右子树。
   中序遍历：先访问左子树——根节点——右子树，按照这个顺序。
   后序遍历：和前面差不多，先访问树的左子树——右子树——根节点。
   按层遍历：把一棵树从上到下，从左到右依次写出来。
   

二叉排序树

又称为二叉查找树，定义：或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：
（1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
（2）若右子树不空，则右子树上所有结点 的值均大于或等于它的根结点的值；
（3）左、右子树也分别为二叉排序树；

平衡二叉树

又被称为AVL树，具有以下性质：它是一棵空树或它的左右 两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是 一棵平衡二叉树。

线索树

n个结点的二叉链表中含有n+1 (2n-(n-1)=n+1)个空指针域。
利用二叉链表中的空指针域，存放指向结点在某种遍历次序下的前趋和后继结点的指针（这种附加的指针称为"线索"）。

最优二叉树

给定n个权值作为n的叶子结点，构造一棵二叉树，若带权路 径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman tree)。哈夫曼树是带权路径长度最短的树， 权值较大的结点离根较近。

例：{7，8，9，10，19}构造哈夫曼树
第一步：创建森林，森林包括5棵树，这5棵树的权值是7，8，9，10，19

第二步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树7和8进行合并，将它们作为一颗新树的左右孩子，新树的权值是左右孩子的权值之和，新树的权值是15。 然后，将树7和树8从森林中删除，并将新的树(树11)添加到森林中。

第三步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树9，10进行合并。得到的新树的权值是19， 然后，将树9和树10从森林中删除，并将新的树19添加到森林中。

第四步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树15，19进行合并。得到的新树的权值是34。 然后，将树15和树19从森林中删除，并将新的树34添加到森林中。

第五步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树19和34进行合并。得到的新树的权值是53。 然后，将树19和树34从森林中删除，并将新的树53添加到森林中。

此时，森林中只有一棵树53。

关于树，大体上就这么多。