带权二分-一丢丢感悟

问题：边界条件的考虑方式，权值相等时，第二关键字应该是最大化还是最小化。

用 hzwer 的选 (k) 个白点那道题来说吧，给每个白点增加 (mid) 的权值，计算 MST 的白点数量 (cnt) 。

(mid) 增大， (cnt) 减小，二分大概长这样：

    while (l <= r) {
        cnt = check(mid);
        if (cnt <= k) {
            // update ans
            r = mid - 1;
        } else {
            l = mid + 1;
        }
    }

类似一个单调不升的序列，二分一个值，最后肯定是停在一段连续相同的值的左边（因为 (cnt = k) 的时候还在减小 (mid) ）。

如此能保证的只有 (mid - 1) 位置的 (cnt > k) ，它是非法的。

这种非法情况，应该无论如何都非法。就是说 (mid - 1) 位置对应的各种 (cnt_{min}, cdots, cnt_{max}) ，都大于 (k) （否则合法的情况就可能在 (mid - 1) 位置，这时候该选 (mid) 还是 (mid - 1) 就说不清了），所以应该保证 (cnt_{min}>k) 才正确。

说完了。

具体放到题里面，求 (cnt) 时，点权相同时，最小化 (cnt) 。反过来说有人二分里面更新答案时用的是 cnt >= k ， 那就应该优先选白点，计算 (cnt_{max}) 。

似乎大佬们有不同的解释，不过暂时我只能这样理解，似乎没什么问题。八省联考 2018 林克卡特树 也是这个方式考虑第二关键字。

update (2019.03.27) : 更简单的理解方法是，原函数加一个一次函数等价与导数加一个常数，也就是向上平移。每次求得的是导数与 (x) 轴交点。导数有时平行于 (x) 轴就需要上面说的方法解决了。