没什么难题，很水的一场训练赛。C题卡了很久，因为背错了通解公式，过不了样例。然后D题就没足够时间写正解了，交了个暴力，30分。
正确的通解方式打开方式：x = x' + k*b/gcd(a, b)
脑子短路时想到的公式：x = x' + k*b
我想换个脑子%%%
A
这题完全违背生活常识，i 是 j 的老队员时 j 却不是 i 的老队员。
小于 x 且不与 x 互质（即有 >1 的公约数）的数有 x-1-phi(x) 个。
考虑到询问次数 M 比较大，先用线性欧拉晒把 N 以内的 phi 计算出来。
1 #include <stdio.h> 2 3 typedef long long LL; 4 5 const int _N = 10001000; 6 7 LL phi[_N], P[_N]; 8 bool mark[_N]; 9 10 void Euler(LL mx) 11 { 12 LL cnt = 0; 13 phi[1] = 1; 14 for (LL i = 2; i <= mx; ++i) { 15 if (!mark[i]) P[++cnt] = i, phi[i] = i-1; 16 for (LL j = 1; j <= cnt && i*P[j] <= mx; ++j) { 17 mark[i*P[j]] = true; 18 if (!(i % P[j])) { phi[i*P[j]] = phi[i] * P[j]; break; } 19 phi[i*P[j]] = phi[i] * (P[j]-1); 20 } 21 } 22 return; 23 } 24 25 int main() 26 { 27 LL n, m; 28 scanf("%lld%lld", &n, &m); 29 Euler(n); 30 while (m--) { 31 LL t; 32 scanf("%lld", &t); 33 if (t == 1) { printf("0 "); continue; } 34 printf("%lld ", t-1-phi[t]); 35 } 36 return 0; 37 }
B
用插板法考虑，F(x) = C(n-1, x-1)
F(1) + F(2) + ... + F(n) = 2n-1
答案为 2n-1 mod p （p = 1,000,000,007, 是一个素数）
n 很大。考虑到 p 是素数且 gcd(2, p) = 1, 由费马小定理 2p-1 ≡ 1 (mod p)
也就是说一堆 2 乘起来模 p 的时候，每有 p-1 个 2，就会模出一个 1 ，对结果没有影响。
所以 2n-1 mod p = 2(n-1) mod (p-1) mod p （其实就是用欧拉函数降幂的一种特殊情况）
对于 (n-1) mod (p-1) , 由模运算法则，可以从最低位起对 n-1 取模，对结果没有影响。也就是一边读入一边模。
然后再用 Montgomery 算 2(n-1) mod (p-1) mod p .
1 #include <stdio.h> 2 3 typedef long long LL; 4 5 const LL _P = 1000000007LL; 6 7 LL mul(LL t1, LL t2) 8 { 9 LL ans = 0; 10 t1 %= _P; 11 while (t2) { 12 if (t2 & 1) ans = (ans+t1) % _P; 13 t2 >>= 1, t1 = (t1<<1) % _P; 14 } 15 return ans; 16 } 17 18 LL mont(LL t1, LL t2) 19 { 20 LL ans = 1; 21 t1 %= _P; 22 while (t2) { 23 if (t2 & 1) ans = mul(ans, t1); 24 t2 >>= 1, t1 = mul(t1, t1); 25 } 26 return ans; 27 } 28 29 int main() 30 { 31 // 2^(n-1) mod P 32 LL n; 33 char tt; 34 while ((tt = getchar()) < '0' || tt > '9'); 35 n = tt - '0'; 36 while ((tt = getchar()) >= '0' && tt <= '9') 37 n = (n*10%(_P-1) + tt-'0') % (_P-1); 38 printf("%lld ", mont(2, n-1)); 39 return 0; 40 }
C
设 1 号车租 x 辆， 2号车租 y 辆得
ax + by = n
由贝祖定理设 t = gcd(a, b) , 则 t 应为 n 的约数，否则无解。
然后用扩欧算出一组 x', y'
得到原方程特解 x = x' * n / t, y = y' * n / t
通解 xx = x + k*b/t , yy = y - k*a/t
显然合法的 xx, yy >= 0
那先求出 xx 最小整数解 xx = (x mod (b/t) + (b/t)) mod (b/t)
红色式子中, k = xx-x*t/b
把上式代入蓝色式子的 k 中 yy = y - (xx-x*t/b)*a/t
这样算出来 x 的最小整数解 xx 时对应的 yy，如果 yy < 0 就无解（因为若要yy增大，则xx必定减小，而此时xx已经是最小整数解，减小后就为负数了）
否则依次计算
xx2 = xx + k*b/t , yy2 = yy - k*a/t
xx3 = xx2 + k*b/t, yy3 = yy2 - k*a/t
...
(满足 yy >= 0)
计算 xx*p1 + yy*p2 ，答案是其中的最小值
1 #include <stdio.h> 2 3 typedef long long LL; 4 5 void exgcd(LL t1, LL t2, LL &x, LL &y, LL &d) 6 { 7 if (t2) { exgcd(t2, t1%t2, y, x, d); y -= t1/t2*x; return; } 8 x = 1, y = 0, d = t1; 9 return; 10 } 11 12 int main() 13 { 14 LL n, t, p1, p2, a, b, x, y; 15 16 scanf("%lld%lld%lld%lld%lld", &n, &p1, &a, &p2, &b); 17 exgcd(a, b, x, y, t); 18 if (n % t) { printf("-1 "); return 0; } 19 20 x = x*n/t, y = y*n/t, a /= t, b /= t; 21 LL tx = (x%b + b) % b; 22 LL ty = y - (tx-x)/b * a; 23 if (ty < 0) { printf("-1 "); return 0; } 24 LL ans = tx*p1 + ty*p2; 25 26 while (ty >= 0) { 27 if (ans > tx*p1 + ty*p2) 28 ans = tx*p1 + ty*p2; 29 tx += b, ty -= a; 30 } 31 32 printf("%lld", ans); 33 return 0; 34 }
D
紫书原题。观察发现求的实际上是 C(n-1, i) (0 <= i <= n-1) 里是 m 倍数的数，对应的一个答案是 i+1.
即如果 m | C(n-1, i) , 一个答案为 i+1.
C有一个递推公式 C(i, j) = C(i, j-1) * (i - j + 1) / j ，易证；而 C(i, 0) = 1。
得到 30 分的方法：枚举 C(b-1, i)
考虑到 C 的值可能比较大，根据唯一分解定理一定可以把它用它的素因数相乘的方式表示。
比如 18 = 2 * 3 * 3
开一个巨大的数组，A[i] 表示当前计算到的 C 的分解式中素因数 i 的数量
P[i] 表示 m 的素因数 i 的数量。然后还需要把 m 的素因数提前记录到 G 中，比如当 m = 18 , G = {2, 3}
每次推到一个新的 Ci 时根据乘或除对 A[i] 进行更新。
然后枚举 m 的素因数 G[t] .
如果对于所有 t, 均有 P[G[t]] <= A[G[t]] 说明 i+1 是一个答案
1 #include <stdio.h> 2 3 typedef long long LL; 4 5 const int _N = 20000000; 6 7 LL ans[_N], A[_N], P[_N], G[_N]; 8 9 void add(LL v) 10 { 11 for (LL i = 2; i*i <= v; ++i) 12 while (!(v % i)) v /= i, ++A[i]; 13 if (v != 1) ++A[v]; 14 return; 15 } 16 17 void del(LL v) 18 { 19 for (LL i = 2; i*i <= v; ++i) 20 while (!(v % i)) v /= i, --A[i]; 21 if (v != 1) --A[v]; 22 return; 23 } 24 25 int main() 26 { 27 LL n, m, up, dn, cnt = 0, Gcnt = 0; 28 scanf("%lld%lld", &n, &m); 29 dn = n-1; 30 //init P 31 LL v = m; 32 for (LL i = 2; i*i <= v; ++i) { 33 if (!(v % i)) G[++Gcnt] = i; 34 while (!(v % i)) v /= i, ++P[i]; 35 } 36 if (v != 1) ++P[v], G[++Gcnt] = v; 37 38 for (up = 1; up <= dn; ++up) { 39 add(dn-up+1); 40 del(up); 41 LL i; 42 for (i = 1; i <= Gcnt; ++i) 43 if (P[G[i]] > A[G[i]]) break; 44 if (i == Gcnt+1) 45 ans[++cnt] = up; 46 } 47 printf("%lld ", cnt); 48 for (up = 1; up <= cnt; ++up) 49 printf("%lld ", ans[up]+1); 50 return 0; 51 }
考试地址:http://oi.nks.edu.cn/zh/Contest/Details/83
题目:
| A老队友 | ||
|
问题描述
新年快到了，南开信竞队的队员们从全国各地聚到了一起，共来了N个人。何老板按照一种奇特的算法把它们从1到N编号。使得对于编号i的队员，如果编号j队员跟他是老队友，那么j一定满足下列两个条件：
1. 1<=j<i；
2. i和j之间存在一个>1的公约数；
在聚会现场，何老板提了M个问题，形如：x号同学的老队友有几个？
对于何老板的每个提问，请你做出回答。
在诸位大神级的前辈面前，你要回答得又快又准，错了小心被打手板。
输入格式
第一行，两个整数N和M
接下来一行，M个空格间隔的整数，表示何老板的M个询问
输出格式
一行，M个空格间隔的整数，依次对应每个问题的答案
样例输入 1
12 3
6 10 11
样例输出 1
3 5 0
样例输入 2
30 5
5 28 3 10 2
样例输出 2
0 15 0 5 0
提示
对于30%的数据:1<=N,M<=1000
对于100%的数据:1<=N<=10000000 1<=M<=100000
| B整数拆分 | ||
|
问题描述
给你一个正整数N，F(x)表示把N拆分成x个正整数之和的方案数。
例如，当n=5时：
F(1)=1,方案为：{5}
F(2)=4,方案为：{1+4} {4+1} {2+3} {3+2}
F(3)=6,方案为：{1+1+3} {1+3+1} {3+1+1} {1+2+2} {2+1+2} {2+2+1}
F(4)=4,方案为：{1+1+1+2} {1+1+2+1} {1+2+1+1} {2+1+1+1}
F(5)=1,方案为：{1+1+1+1+1}
请你计算出F(1)+F(2)+......+F(N)
结果可能很大，mod 1,000,000,007 再输出!
输入格式
第一行，一个整数N
输出格式
一行，一个整数，表示所求的结果
样例输入 1
5
样例输出 1
16
样例输入 2
8
样例输出 2
128
提示
对于50%的数据1<=N<=100
对于100%的数据1<=N<=10100000
| C观光车 | |
|
问题描述
何老板带领n名游客来到一景区大门口，需要乘坐观光车游览景区。
景区提供两种观光车，一种是每辆车可以坐a名游客，包一辆车费用是p1块钱；另一种每辆车可以坐b名游客，包一辆车费用是p2块钱。
何老板想让这n名游客都坐上观光车，且每辆车都坐满。问何老板至少要花费多少钱？
输入格式
第一行，一个整数n,表示游客的总数。
第二行，两个空格间隔的整数，表示p1和a
第三行，两个空格间隔的整数，表示p2和b
输出格式
一行，一个整数，表示所需最少费用。
如果无解，输出“-1”
样例输入 1
43
1 3
2 4
样例输出 1
15
样例输入 2
40
5 9
5 12
样例输出 2
-1
样例输入 3
486
25 27
33 36
样例输出 3
446
提示
样例1说明：第一种车13辆，第二种车1辆
1 <= n,a,b,p1,p2 <= 2,000,000,000
| Dspark搭塔 | ||
|
问题描述
Spark用积木搭了n座塔，第i座塔的高度为ai.
他发明了一种有趣增高操作：每一次他都会从1到n,在第i(i<n)座塔的上面再搭上一个和第i+1座塔一样高的塔，第n座塔没法增高，只好扔掉了。这样做了一次之后Spark就只剩下了n-1座塔(n的值变为n-1)。于是他很有耐心的重复了许多次，直到最后只剩下了一座塔，设它的高度为H。
Spark很迷信，他有一个幸运数字m，于是他把H%m当成最终的美观度。
他惊奇的发现，最开始n座塔中有一些塔的高度不论是多少，最终的美观度都不会变！他想知道哪些塔的高度不会影响美观度。
输入格式
一行两个整数n,m ( 1<=n<=100 000, 2<=m<=10^9).
对30%的数据 n<=30,m<=100
输出格式
第一行一个整数N，表示不影响美观度的塔的个数。
第二行N个整数，第i个数 bi 表示第 bi 座塔的高度不影响美观度，请从小到大输出 bi。
样例输入 1
3 2
样例输出 1
1
2
样例输入 2
7 6
样例输出 2
2
2 6
提示
样例解释：
第一次操作后变成 a1 + a2, a2 + a3.
第二次操作后变成 a1 + 2a2 + a3.
又因为m=2，最终的美观度显然与 a2。没有关系.