算法导论第三版第二章第三节习题答案

2.3-1 以图2-4为模型，说明合并排序在输入数组A={3,41,52,26,38,57,9,49}上的执行过程。

				3	9	26	38	41	49	52	57
			3	26	41	52	&	9	38	49	57
	3	41	&	26	52				38	57	&	9	49
3	&	41		52	&	26		38	&	57		9	&	49

注：&为合并符号。

如果是 对数组 6,4,7,26,38,45,9使用插入排序呢？如下

				4	6	7	9	26	38	45
			4	6	7	26	&	9	38	45
	4	6	&	7	26				38	45	&	9
6	&	4		7	&	26		38	&	45

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2.3-2 改写MERGE过程，使之不使用哨兵元素，而是在一旦数组元素L或R中的所有元素都被复制回数组A后，就立即停止，再将令一个数组中余下的元素复制回数组A中。

go语言实现的代码： http://www.cnblogs.com/ghj1976/archive/2013/02/28/2937319.html

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2.2-3 利用数学归纳法证明：当n是2的整数次幂时，以下递归式的解是T(n)=nlgn。

最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成：
递推的基础：证明当n=1时表达式成立。
递推的依据：证明如果当n=m时成立，那么当n=m+1时同样成立。
这种方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。

http://baike.baidu.com/view/284458.htm

证明：

1、当n=2时，T(n)=2lg(2)=2成立。

2、假设当n=2^k(k>1)时，等式成立，即T(2^k)=(2^k)lg(2^k)=k(2^k)；

又因为已知：n=2^k(k>1)时，有T(2^k)=2T((2^k)/2)+2^k，

所以：T(2^(k+1))= 2T((2^(k+1))/2)+2^(k+1)= 2T(2^k)+2^(k+1)= 2(k*(2^k))+2^(k+1)= (k+1)*2^(k+1)

3、所以，当n=2^(k+1) (k>1)时，等式也成立。即递归式的解确实为T(n)=nlg(n)。

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2.3-4：插入排序可以如下改写成一个递归过程：为排序A[1..n]，先递归地排序A[1..n-1]，然后再将A[n]插入到已排序的数组A[1..n-1]中去。对于插入排序的这一递归版本，为它的运行时间写一个递归式。

https://github.com/Airead/excise/blob/master/algorithms/excise/2.3-4.txt

伪代码：

递归式的答案比较糊涂，网上有几个版本：

http://www.cnblogs.com/sinoxavier/archive/2012/11/23/2785077.html

n<=C时，T(n)=Θ(1),否则T(n)=(n-1)/n*T(n-1)+ Θ(n^2)

http://www.cnblogs.com/liao-xiao-chao/articles/2351925.html

T(n)     =     Θ(1)　　n=1 or 2
　　　 =　　T(n-1)+ Θ(n)　　n>2

http://www.cnblogs.com/timebug/archive/2010/03/13/1685319.html

https://github.com/Airead/excise/blob/master/algorithms/excise/2.3-4.txt

T(n) = T(n-1) + cn = T(1) + (n-1)cn = 1 + cn(n-1)

T(n) = O(n^2)

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2.3-5　回顾查找问题（参见练习2.1-3），注意到，如果序列A已排好序，就可以将该序列的中点与v进行比较。根据比较的结果，原序列中有一半就可以不用再做进一步的考虑了。二分查找算法重复这个过程，每次都将序列剩余部分的规模减半。为二分查找写出迭代或递归的伪代码。证明：二分查找的最坏情况运行时间为Θ（lgn）。 

2.1-3的试题如下：考虑下面的查找问题：

输入：一列数A=<a1,a2,…,an >和一个值v
输出：下标i，使得v=A[i]，或者当v不在A中出现时为NIL。
写出针对这个问题的现行查找的伪代码，它顺序地扫描整个序列以查找v。
利用循环不变式证明算法的正确性。确保所给出的循环不变式满足三个必要的性质。

二分查找最坏的情况是直到最后次二分也未找到相应的值，假设总量n等于2的k次方，即n=2^k，每二分一次k减1，当k=0时，之前一次为最后一次二分，即共执行了k次。而k=lg(n)，所以，最坏情况的运行时间为Θ(lgn)。

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2.3-6　注意到2.1节中的过程INSERTION-SORT的第5～7行的while循环采用一种线性查找来（反向）扫描已排好序的子数组A［1..j-1］。我们可以使用二分查找（参见练习2.3-5）来把插入排序的最坏情况总运行时间改进到Θ（nlgn）吗？

在最坏情况下，二分查找的时间复杂度是 nlgn，但插入时数组移动的时间复杂度仍是 n2 。
故总体运行时间不能改善为 Θ(nlgn)。（但若排序中采用链表的数据结构，则可改善。）

插入排序的算法

二分法查找，但是数据插入仍然用之前方法，时间复杂度仍然是n^2

用链表的时间复杂度

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*2.3-7　描述一个运行时间为Θ（nlgn）的算法，给定n个整数的集合S和另一个整数x，该算法能确定S中是否存在两个其和刚好为x的元素。

算法思路1：
首先对S[1...n]进行非降序排序，然后设置两个指向标i=1,j=n,执行下面的操作:
S[i] + S[j] = X，　　返回true
　       　 < X,　　i = i+1
　　　　> X,　　j = j-1
　　如果 i>j 返回false

正确性说明：很显然，如果S[i] + S[j]< X，则如果存在一个a，使得S[a] + S[j] = x，
那么这个S[a]一定要大于s[j],换句话说a要大于i，
另外一种情况是存在一个a，使得S[i] + S[a] = x，那么这个S[a]一定要大于s[j],换句话说a要大于j，
下面我们说明第二种情况不存在，在执行到j前，因为偏移量总是1，所以必然会执行到a，
这个时候在i之前的所有数，与S[a]相加是要小于X的，根据上面的公式，会移动前半段，即变动i，
直到到达i,所以不存在，同理可以说明>X的情况，因此如果算法返回false的话，
算法可以验证那么对于任意的i,都不存在j使得其和等于X
时间复杂度分析：排序为Θ(nlgn)，之后为Θ(n)，算法的时间复杂度为Θ(nlgn)

思路2：

思路3：
以算法导论上面的标准答案步骤是这样的:
1）将S中的元素排序。
2）构建另一个集合S‘={z:z=x-y , 其中y属于S}。
3）对S‘中的元素排序。
4）如果S中有元素出现多余一次，则移除多余的，只剩下一个。对于S’也移除重复的元素。
5）合并两个排好序集合S和S‘。
6）只要在合并好的集合中有同样的元素出现两次（它们必然在相邻的位置），则存在和为x的两个数。假定该元素为y，则另一个元素为x-y。
第1，3步所需时间为O(nlgn)，2，4，5，6步所需时间为O(n)。所以总的时间为O(nlgn)。

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参考资料：

http://www.cnblogs.com/timebug/archive/2010/03/13/1685319.html

http://www.cnblogs.com/liao-xiao-chao/articles/2351925.html

http://qiemengdao.iteye.com/blog/1328678

http://www.cnblogs.com/sinoxavier/archive/2012/11/23/2785077.html

https://github.com/Airead/excise/blob/master/algorithms/algorithms.org