DP2_第K优解

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对于求次优解、第K优解类的问题，如果相应的最优解问题能写出状态转移方程、用动态规划解决，那么求次优解往往可以相同的复杂度解决，第K优解则比求最优解的复杂度上多一个系数K。其基本思想是将每个状态都表示成有序队列，将状态转移方程中的max/min转化成有序队列的合并。这里仍然以01背包为例讲解一下。首先看01背包求最优解的状态转移方程：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。如果要求第K优解，那么状态f[i][v]就应该是一个大小为K的数组f[i][v][1..K]。其中f[i][v][k]表示前i个物品、背包大小为 v时，第k优解的值。“f[i][v]是一个大小为K的数组”这一句，熟悉C语言的同学可能比较好理解，或者也可以简单地理解为在原来的方程中加了一维。显然f[i][v][1..K]这K个数是由大到小排列的，所以我们把它认为是一个有序队列。然后原方程就可以解释为：f[i][v]这个有序队列是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]这两个有序队列合并得到的。有序队列f[i-1][v]即f[i-1][v][1..K]，f[i-1][v-c[i]]+w[i]则理解为在f[i-1][v-c[i]] [1..K]的每个数上加上w[i]后得到的有序队列。合并这两个有序队列并将结果的前K项储存到f[i][v][1..K]中的复杂度是O(K)。最后的答案是f[N][V][K]。总的复杂度是O(VNK)。

为什么这个方法正确呢？实际上，一个正确的状态转移方程的求解过程遍历了所有可用的策略，也就覆盖了问题的所有方案。只不过由于是求最优解，所以其它在任何一个策略上达不到最优的方案都被忽略了。如果把每个状态表示成一个大小为K的数组，并在这个数组中有序的保存该状态可取到的前K个最优值。那么，对于任两个状态的max运算等价于两个由大到小的有序队列的合并。另外还要注意题目对于“第K优解”的定义，将策略不同但权值相同的两个方案是看作同一个解还是不同的解。如果是前者，则维护有序队列时要保证队列里的数没有重复的。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define sc(x)   scanf("%d", &x)
#define CL(x, y)  memset(x, y, sizeof(x))
using namespace std;
int main()
{
    int t;
    int v[101], w[101];
    int a[101], b[101];
    int n, vol, i, j, k, K;
    int x, y, z;
    int p[1011][30];
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d%d", &n, &vol, &K);
        for(i = 1 ; i <= n ; i++)
            sc(v[i]);
        for(i = 1 ; i <= n ; i++)
            sc(w[i]);
        CL(p, 0);
        CL(a , -1);
        CL(b , -1);
        a[0] = 0;
        b[0] = 0;
        for(i = 1 ; i <= n ; i++)
        {
            for(j = vol ; j >= w[i] ; j--)
            {
                for (k = 1; k <= K; k++)
                {
                    a[k] = p[j - w[i]][k] + v[i];
                    b[k] = p[j][k];
                }
                x = 1;
                y = 1;
                z = 1;
                while(z <= K && ( x <= K || y <= K ) )//合并重新生成前k个最优解
                {
//                    cout << a[x] << " " << b[x] << endl;
                    if(a[x] > b[y])
                        p[j][z] = a[x] , x++;
                    else
                        p[j][z] = b[y] , y++;
                    if(p[j][z] != p[j][z-1])
                        z++;
                }
            }
        }

        printf("%d
", p[vol][K]);
    }
    return 0;
}