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  • 素数专题

    欧拉筛,O(线性) 

    考虑三个地方,即可筛出积性函数f(x):

    1.x为素数

    2.p不整除于x 

    3.p整除于x(break)

    #include<iostream>
    #define MAXN 200000
    using namespace std;
    
    
    int prime[MAXN];
    bool istprime[MAXN];
    void makePrime(int num){
        int cnt=0;
        istprime[1]=1;
        for(int i=2;i<=num;i++){
            if(!istprime[i])  prime[++cnt]=i;
            for(int j=1;prime[j]*i<=num&&j<=cnt;j++){
                istprime[i*prime[j]]=1;
                if(i%prime[j]==0) break;
            }
        }
    }
    
    int main(){
        int n;
        cin>>n;
        makePrime(n);
        for(int i=1;i<=n;i++) if(!istprime[i]) cout<<i<<" ";
    }
    • [x] 唯一分解定理 有素数表复杂度在lnn,没有则sqrt(n)

    • [x] 威尔逊定理 

    • [x] 费马小定理

    • 设p为素数,a为正整数,若GCD(p,a)==1,则a^(p-1)≡1 MOD p

    欧拉函数
    1. 若p为素数,则E(p)=p-1;
    2. E(p)<=p-1,当且仅当p为素数取等号;
    3. E为积性函数
    4. 若n=p1^α1 * p2^α2 * … pk^αk,则有E(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/pn);

    线性筛欧拉函数表(略加改动的线性筛素数)

    //Writer:GhostCai && His Yellow Duck
    
    #include<iostream>
    #define MAXN 200000
    using namespace std;
    
    
    int prime[MAXN];
    bool istprime[MAXN];
    int phi[MAXN];
    void makePrime(int num){
        int cnt=0;
        phi[1]=1;
        for(int i=2;i<=num;i++){
            if(!istprime[i])  prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
            for(int j=1;prime[j]*i<=num&&j<=cnt;j++){
                istprime[i*prime[j]]=1;
                if(i%prime[j]==0) {
                    phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                    break;
                }
                else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
            }
    
        }
    }
    
    int main(){
        int n;
        cin>>n;
        makePrime(n);
        for(int i=1;i<=n;i++) cout<<i<<" "<<phi[i]<<endl;
    }
    
    • [ ] 欧拉定理
    • [x] Miller-Rabin素数测试
    • [ ] Pollard Rho算法

    本文来自博客园,作者:GhostCai,转载请注明原文链接:https://www.cnblogs.com/ghostcai/p/9247523.html

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