网络是一张有向图，每条边有一个属性：容量，即这条边最多流过的流量。
它具有以下性质：
- 斜对称性质：按照流函数的定义，每条边的反向边其实都有一个负的流量。
- 流量守恒定律：网络中除源点、汇点以外任何节点不存储流，其流入总量等于流出总量。
这里不得不提一下斜对称性，有向图为什么要有反向边？这是为了求解最大流。
网络流模型可以形象的描述为：在不超过容量限制的前提下，流从源点不断产生，流经整个网络，最终全部归于汇点。
最大流
考虑一条残量网络上从S到T的路径，它能增加的流量就是路径上残量的最小值，若最小值大于0，则可以给网络增加流量，称这样的一条路径为一条增广路。
显然，网络达到最大流，当且仅当网络中没有增广路。
寻找最大流，就是一次次地寻找增广路的过程，这个过程可以使用BFS从S到T走一条增广路，这就是EK算法。
根据斜对称性，当一条边流过w单位流量，它的反边就要流过-w单位流量，这就是一个后悔策略。
但是EK算法存在许多不足 ，比如一次只寻找一条增广路，这些可以改进。
Dinic算法：先用BFS将原图分层，再用DFS进行多路增广，达到较优的效果，加上当前弧优化，可以跑1e4~1e5点数的数据。
dinic算法
#include<iostream> #include<cstring> #include<cctype> #include<cstdio> #include<queue> using namespace std; const int MAXN=100005; const int INF=1<<30; int n,m,s,t; int mxflow; inline int rd(){ int ret=0,f=1;char c; while(c=getchar(),!isdigit(c))f=c=='-'?-1:1; while(isdigit(c))ret=ret*10+c-'0',c=getchar(); return ret*f; } struct Edge{ int next,to,w; }e[MAXN*10]; int ecnt=1,head[MAXN],cur[MAXN]; inline void add(int x,int y,int w){ e[++ecnt].next = head[x]; e[ecnt].to = y; e[ecnt].w = w; head[x] = ecnt; } int dis[MAXN]; bool bfs(){ queue<int> Q; memset(dis,0,sizeof(dis)); Q.push(s);dis[s]=1; while(!Q.empty()){ int top=Q.front();Q.pop(); for(int i=head[top];i;i=e[i].next){ int v=e[i].to; if(dis[v]||!e[i].w) continue; Q.push(v);dis[v]=dis[top]+1; } } return dis[t]; } int dfs(int x,int val){ if(x==t) return val; int used=0,tmp; for(int i=cur[x];i;i=e[i].next){ int v=e[i].to; if(dis[v]!=dis[x]+1) continue;// tmp=dfs(v,min(val-used,e[i].w)); used+=tmp; e[i].w-=tmp; e[i^1].w+=tmp; if(e[i].w) cur[x]=i; if(val==used) return val; } if(!used) dis[x]=0; return used; } void dinic(){ while(bfs()){ memcpy(cur,head,sizeof(head)); mxflow+=dfs(s,INF); } } int main(){ n=rd();m=rd(); s=rd();t=rd(); int x,y,w; for(int i=1;i<=m;i++){ x=rd();y=rd();w=rd(); add(x,y,w); add(y,x,0); } dinic(); printf("%d ",mxflow); return 0; }
二分图最大匹配
S向左部点连容量为1的边，右部点向T连容量为1的边，原图边改为从左往右连的容量为1的有向边。
此时最大流=二分图最大匹配。
对二分图如此建图再使用Dinic，总复杂度O(m*sqrt(n))，这就是二分图匹配的Hopcroft-Karp算法
#include<iostream> #include<cstring> #include<cctype> #include<cstdio> #include<queue> using namespace std; const int MAXN=20000; const int INF=1<<30; int n,m,s,t; int mxflow; inline int rd(){ int ret=0,f=1;char c; while(c=getchar(),!isdigit(c))f=c=='-'?-1:1; while(isdigit(c))ret=ret*10+c-'0',c=getchar(); return ret*f; } struct Edge{ int next,to,w; }e[1000005]; int ecnt=1,head[MAXN],cur[MAXN]; inline void add(int x,int y,int w){ e[++ecnt].next = head[x]; e[ecnt].to = y; e[ecnt].w = w; head[x] = ecnt; } int dis[MAXN]; bool bfs(){ queue<int> Q; memset(dis,0,sizeof(dis)); Q.push(s);dis[s]=1; while(!Q.empty()){ int top=Q.front();Q.pop(); for(int i=head[top];i;i=e[i].next){ int v=e[i].to; if(dis[v]||!e[i].w) continue; Q.push(v);dis[v]=dis[top]+1; } } return dis[t]; } int dfs(int x,int val){ if(x==t) return val; int used=0,tmp; for(int i=cur[x];i;i=e[i].next){ int v=e[i].to; if(dis[v]!=dis[x]+1) continue;// tmp=dfs(v,min(val-used,e[i].w)); used+=tmp; e[i].w-=tmp; e[i^1].w+=tmp; if(e[i].w) cur[x]=i; if(val==used) return val; } if(!used) dis[x]=0; return used; } void dinic(){ while(bfs()){ memcpy(cur,head,sizeof(head)); mxflow+=dfs(s,INF); } } int num; int main(){ n=rd();m=rd();num=rd(); s=n+m+1;t=n+m+2; int x,y,w; for(int i=1;i<=num;i++){ x=rd();y=rd(); if(x>n||y>m) continue; add(x,y+n,1); add(y+n,x,0); } for(int i=1;i<=n;i++) add(s,i,1),add(i,s,0); for(int i=1;i<=m;i++) add(i+n,t,1),add(t,i+n,0); dinic(); printf("%d ",mxflow); return 0; }
最小割
网络的最大流等于最小割。
最小费用最大流
在每条边上新添加一个属性：花费。即这条边每通过1流量，就要增加一些代价。
最大流大小是确定的，但是流法却可以有很多种，最小费用最大流就是求解在满足最大流的前提下，花费最小的流。
可以将EK算法中寻找增广路的BFS改为SPFA，这样保证既能找到增广路，也满足最小花费。
EK+SPFA算法
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<queue> using namespace std; inline int rd(){ int ret=0,f=1;char c; while(c=getchar(),!isdigit(c))f=c=='-'?-1:1; while(isdigit(c))ret=ret*10+c-'0',c=getchar(); return ret*f; } const int MAXN=5005; struct Edge{ int next,to,w,f; }e[500005<<1]; int ecnt=1,head[MAXN]; inline void add(int x,int y,int f,int w){ e[++ecnt].next = head[x]; e[ecnt].to = y; e[ecnt].f = f; e[ecnt].w = w; head[x] = ecnt; } int n,m,s,t; int dis[MAXN],flow[MAXN],pre[MAXN],inq[MAXN]; queue<int> Q; bool spfa(){ memset(dis,0x3f,sizeof(dis)); dis[s]=0;flow[s]=1<<30; Q.push(s); while(!Q.empty()){ int top=Q.front();Q.pop();inq[top]=0; for(int i=head[top];i;i=e[i].next){ int v=e[i].to; if(dis[v]<=dis[top]+e[i].w||!e[i].f) continue; dis[v]=dis[top]+e[i].w; flow[v]=min(flow[top],e[i].f); pre[v]=i; if(!inq[v]) Q.push(v),inq[v]=1; } } return dis[t]!=0x3f3f3f3f; } int ans_flow,ans_cost; void increase(){ int cur=t,mx=flow[t]; while(cur!=s){ int i=pre[cur]; e[i].f-=mx; e[i^1].f+=mx; cur=e[i^1].to; } ans_flow+=mx;ans_cost+=dis[t]*mx; } void EK(){ while(spfa()) increase(); } int main(){ n=rd();m=rd();s=rd();t=rd(); int x,y,f,w; for(int i=1;i<=m;i++){ x=rd();y=rd();f=rd();w=rd(); add(x,y,f,w);add(y,x,0,-w); } EK(); cout<<ans_flow<<" "<<ans_cost<<endl; return 0; }
zkw费用流
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<queue> using namespace std; inline int rd(){ int ret=0,f=1;char c; while(c=getchar(),!isdigit(c))f=c=='-'?-1:1; while(isdigit(c))ret=ret*10+c-'0',c=getchar(); return ret*f; } const int MAXN=5005; const int M=100005; const int INF=1<<30; int n,m; struct Edge{ int next,to,f,w; }e[M<<1]; int ecnt=1,head[MAXN],cur[MAXN]; void adds(int x,int y,int f,int w){ e[++ecnt].next = head[x]; e[ecnt].to = y; e[ecnt].f = f; e[ecnt].w = w; head[x] = ecnt; } void add(int x,int y,int f,int w){ adds(x,y,f,w);adds(y,x,0,-w); } int d[MAXN]; bool vis[MAXN]; int aug(int x,int t,int flow){ if(x==t) return flow; vis[x]=1;int tmp; for(int v,&i=cur[x];i;i=e[i].next){ if(!e[i].f||vis[v=e[i].to]||d[x]!=d[v]+e[i].w)continue; tmp=aug(v,t,min(flow,e[i].f)); if(tmp)return e[i].f-=tmp,e[i^1].f+=tmp,tmp; } return 0; } bool update(){ int tmp=INF; for(int i=1;i<=n;i++){ if(!vis[i]) continue; for(int v,j=head[i];j;j=e[j].next) if(e[j].f&&!vis[v=e[j].to]) tmp=min(tmp,d[v]+e[j].w-d[i]); } if(tmp==INF) return true; for(int i=1;i<=n;i++) if(vis[i]) vis[i]=0,d[i]+=tmp; return false; } int mxflow,mncost; void zkw(int s,int t){ int tmp; while(1){ memcpy(cur,head,sizeof((head))); while(tmp=aug(s,t,INF)){ mxflow+=tmp; mncost+=tmp*d[s]; memset(vis,0,sizeof(vis)); } if(update())break; } } int main(){ int S,T; n=rd();m=rd();S=rd();T=rd(); int x,y,f,w; while (m--){ x=rd();y=rd();f=rd();w=rd(); add(x,y,f,w); } zkw(S,T); printf("%d %d",mxflow,mncost); return 0; }
无源汇有上下界可行流
为了满足流量守恒，没有源汇的网络显然是一个循环网络。
对于一条弧，可以拆成必要弧和附加弧，必要弧就是这条弧的下界，附加弧是可以在必要弧基础上增广的容量。
必要弧为下界，添加附加弧和附加源汇，看能否跑满出边。
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<queue> using namespace std; inline int rd(){ int ret=0,f=1;char c; while(c=getchar(),!isdigit(c))f=c=='-'?-1:1; while(isdigit(c))ret=ret*10+c-'0',c=getchar(); return ret*f; } const int MAXN=256; const int M=100005; const int INF=1<<30; struct Edge{ int next,to,f; }e[M<<1]; int ecnt=1,head[MAXN]; inline void add(int x,int y,int f){ e[++ecnt].next = head[x]; e[ecnt].f = f; e[ecnt].to =y; head[x] = ecnt; } int low[M]; int S,T; int n,m; int d[MAXN]; int dep[MAXN]; queue<int> Q; bool bfs(){ memset(dep,0,sizeof(dep)); Q.push(S);dep[S]=1; while(!Q.empty()){ int top=Q.front();Q.pop(); for(int i=head[top];i;i=e[i].next){ int v=e[i].to; if(dep[v]||!e[i].f) continue; dep[v]=dep[top]+1;Q.push(v); } } return dep[T]; } int cur[MAXN]; int dfs(int x,int flow){ if(x==T) return flow; int used=0,tmp; for(int i=cur[x];i;i=e[i].next){ int v=e[i].to; if(dep[v]!=dep[x]+1) continue; if(!e[i].f) continue; tmp=dfs(v,min(e[i].f,flow-used)); used+=tmp;e[i].f-=tmp;e[i^1].f+=tmp; if(used==flow) return flow; if(e[i].f) cur[x]=i; } if(!used) dep[x]=-1; return used; } int mxflow; void dinic(){ while(bfs()){ memcpy(cur,head,sizeof(head)); mxflow+=dfs(S,INF); } } int main(){ n=rd();m=rd(); int x,y,l,r; for(int i=1;i<=m;i++){ x=rd();y=rd();l=rd();r=rd(); add(x,y,r-l);add(y,x,0); d[x]-=l;d[y]+=l;low[i]=l; } S=n+1;T=n+2; int sum=0; for(int i=1;i<=n;i++){ if(d[i]<0){ add(i,T,-d[i]); add(T,i,0); } if(d[i]>0){ add(S,i,d[i]); add(i,S,0); sum+=d[i]; } } dinic(); if(mxflow<sum) return puts("NO"),0; puts("YES"); for(int i=1;i<=m;i++){ printf("%d ",low[i]+e[i<<1|1].f); } return 0; }
有源汇有上下界可行流
从T向S连一条下界为0，上界为正无穷的边即可转化为无源汇有上下界最大流。
有源汇有上下界最大流
先求出可行流，再从S到T求一次最大流，加上即可。
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<queue> using namespace std; inline int rd(){ int ret=0,f=1;char c; while(c=getchar(),!isdigit(c))f=c=='-'?-1:1; while(isdigit(c))ret=ret*10+c-'0',c=getchar(); return ret*f; } const int MAXN=256; const int M=100005; const int INF=1<<30; struct Edge{ int next,to,f; }e[M<<1]; int ecnt=1,head[MAXN]; inline void add(int x,int y,int f){ e[++ecnt].next = head[x]; e[ecnt].f = f; e[ecnt].to =y; head[x] = ecnt; } int low[M]; int S,T,SS,TT; int n,m; int d[MAXN]; int dep[MAXN]; queue<int> Q; bool bfs(int x,int y){ memset(dep,0,sizeof(dep)); Q.push(x);dep[x]=1; while(!Q.empty()){ int top=Q.front();Q.pop(); for(int i=head[top];i;i=e[i].next){ int v=e[i].to; if(dep[v]||!e[i].f) continue; dep[v]=dep[top]+1;Q.push(v); } } return dep[y]; } int cur[MAXN]; int dfs(int x,int flow,int arr){ if(x==arr) return flow; int used=0,tmp; for(int i=cur[x];i;i=e[i].next){ int v=e[i].to; if(dep[v]!=dep[x]+1) continue; if(!e[i].f) continue; tmp=dfs(v,min(e[i].f,flow-used),arr); used+=tmp;e[i].f-=tmp;e[i^1].f+=tmp; if(used==flow) return flow; if(e[i].f) cur[x]=i; } if(!used) dep[x]=-1; return used; } int mxflow; void dinic(int x,int y){ while(bfs(x,y)){ memcpy(cur,head,sizeof(head)); mxflow+=dfs(x,INF,y); } } int ans; int main(){ // freopen("1.in","r",stdin); n=rd();m=rd();S=rd();T=rd(); int x,y,l,r; for(int i=1;i<=m;i++){ x=rd();y=rd();l=rd();r=rd(); add(x,y,r-l);add(y,x,0); d[x]-=l;d[y]+=l;low[i]=l; } SS=n+1;TT=n+2; int sum=0; for(int i=1;i<=n;i++){ if(d[i]<0){ add(i,TT,-d[i]); add(TT,i,0); } if(d[i]>0){ add(SS,i,d[i]); add(i,SS,0); sum+=d[i]; } } add(T,S,INF);add(S,T,0); int tmp=ecnt; dinic(SS,TT); ans+=e[tmp].f; for(int i=head[SS];i;i=e[i].next){ if(e[i].f) return puts("please go home to sleep"),0; } mxflow=0; head[S]=e[head[S]].next; head[T]=e[head[T]].next; dinic(S,T); cout<<ans+mxflow; return 0; }
有源汇有上下界最小流
考虑如何将一些“非必要边”删掉，注意到我们并没有这样的算法，但是根据斜对称性，反边增加流量就是正边减少流量，于是可以在残量网络上求出T到S的最大流，这就是可行流最多可以减去的部分。
先求出可行流，再从T到S求一次最大流，减去即可。
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<queue> using namespace std; inline int rd(){ int ret=0,f=1;char c; while(c=getchar(),!isdigit(c))f=c=='-'?-1:1; while(isdigit(c))ret=ret*10+c-'0',c=getchar(); return ret*f; } const int MAXN=50500; const int M=200005; const int INF=1<<30; struct Edge{ int next,to,f; }e[M<<1]; int ecnt=1,head[MAXN]; inline void add(int x,int y,int f){ e[++ecnt].next = head[x]; e[ecnt].f = f; e[ecnt].to =y; head[x] = ecnt; } int low[M]; int S,T,SS,TT; int n,m; int d[MAXN]; int dep[MAXN]; queue<int> Q; bool bfs(int x,int y){ memset(dep,0,sizeof(dep)); Q.push(x);dep[x]=1; while(!Q.empty()){ int top=Q.front();Q.pop(); for(int i=head[top];i;i=e[i].next){ int v=e[i].to; if(dep[v]||!e[i].f) continue; dep[v]=dep[top]+1;Q.push(v); } } return dep[y]; } int cur[MAXN]; int dfs(int x,int flow,int arr){ if(x==arr) return flow; int used=0,tmp; for(int i=cur[x];i;i=e[i].next){ int v=e[i].to; if(dep[v]!=dep[x]+1) continue; if(!e[i].f) continue; tmp=dfs(v,min(e[i].f,flow-used),arr); used+=tmp;e[i].f-=tmp;e[i^1].f+=tmp; if(used==flow) return flow; if(e[i].f) cur[x]=i; } if(!used) dep[x]=-1; return used; } int mxflow; void dinic(int x,int y){ while(bfs(x,y)){ memcpy(cur,head,sizeof(head)); mxflow+=dfs(x,INF,y); } } int ans; int main(){ // freopen("8.in","r",stdin); n=rd();m=rd();S=rd();T=rd(); int x,y,l,r; for(int i=1;i<=m;i++){ x=rd();y=rd();l=rd();r=rd(); add(x,y,r-l);add(y,x,0); d[x]-=l;d[y]+=l;low[i]=l; } SS=n+1;TT=n+2; int sum=0; for(int i=1;i<=n;i++){ if(d[i]<0){ add(i,TT,-d[i]); add(TT,i,0); } if(d[i]>0){ add(SS,i,d[i]); add(i,SS,0); sum+=d[i]; } } add(T,S,INF);add(S,T,0); int tmp=ecnt; dinic(SS,TT); ans+=e[tmp].f; for(int i=head[SS];i;i=e[i].next){ if(e[i].f) return puts("please go home to sleep"),0; } mxflow=0; head[S]=e[head[S]].next; head[T]=e[head[T]].next; dinic(T,S); cout<<ans-mxflow; return 0; }