洛伦兹变换

洛伦兹变换

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洛伦兹变换（Lorentz transformation）是狭义相对论中两个作相对匀速运动的惯性参考系（S和S′）之间的坐标变换，^[1]  是观测者在不同惯性参考系之间对物理量进行测量时所进行的转换关系，在数学上表现为一套方程组。洛伦兹变换因其创立者——荷兰物理学家H·洛伦兹而得名。洛伦兹变换最初用来调和19世纪建立起来的经典电动力学同牛顿力学之间的矛盾，后来成为狭义相对论中的基本方程组。

 

中文名

洛伦兹变换

外文名

Lorentz transformation

适用范围

数学，物理

类    别

坐标变换

目录

1. 1 基本理论
2. 2 研究历史
3. 3 数学形式

1. 4 初等数学推导
2. ▪ 基本公理
3. ▪ 推导过程
4. 5 群论推导

1. 6 几何理解
2. 7 四维矢量形式

洛伦兹变换基本理论

洛伦兹变换是狭义相对论中两个作相对匀速运动的惯性参考系(S和S′)之间的坐标变换。若S系的坐标轴为X、Y和Z，S′系的坐标轴为X′、Y′和Z′。为了简单，让X、Y和Z轴分别平行于X′、Y′和Z′轴，S′系相对于S系以不变速度v沿X轴的正方向运动，当t=t′ = 0 时，S系和S′系的原点互相重合。同一个物理事件在S系和S′系中的时空坐标由下列关系式相联系：

式中

，

；c为真空中的光速^[1]  。其逆变换形式为

这个关系式称为洛伦兹变换。不同惯性系中的物理定律在洛伦兹变换下数学形式不变，它反映了空间和时间的密切联系，是狭义相对论中最基本的关系^[1]  。

洛伦兹变换研究历史

19世纪后期建立了麦克斯韦方程组，标志着经典电动力学取得巨大成功。然而麦克斯韦方程组在经典力学的伽利略变换下并不是协变的。

由麦克斯韦方程组可以得到电磁波的波动方程，由波动方程解出真空中的光速是一个常数。按照经典力学的时空观，这个结论应当只在某个特定的绝对静止的惯性参考系中成立，这个参考系就是以太。其它参考系中测量到的光速是以太中光速与观察者所在参考系相对以太参考系的速度的矢量叠加。然而1887年的迈克耳孙-莫雷实验测量不到地球相对于以太参考系的运动速度。1904年，洛伦兹提出了洛伦兹变换用于解释迈克耳孙-莫雷实验。根据他的设想，观察者相对于以太以一定速度运动时，以太（即空间介质）长度在运动方向上发生收缩，抵消了不同方向上的光速差异，这样就解释了迈克耳孙-莫雷实验的零结果。

1905年以前已经发现一些电磁现象与经典物理概念相抵触，它们是：①迈克耳孙–莫雷实验没有观测到地球相对于以太的运动。②运动物体的电磁感应现象表现出相对性——是磁体运动还是导体运动其效果一样。③电子的惯性质量随电子运动速度的增加而变大。此外，电磁规律（麦克斯韦方程组）在伽利略变换下不是不变的，即是说电磁定律不满足牛顿力学中的伽利略相对性原理。修改和发展牛顿理论使之能够圆满解释上述新现象成为19世纪末、20世纪初的当务之急。以H.洛伦兹为代表的许多物理学家在牛顿力学的框架内通过引入各种假设来对牛顿理论进行修补，最后引导出了许多新的与实验结果相符合的方程式，如时间变慢和长度收缩假说、质速关系式和质能关系式，甚至得到了洛伦兹变换。所有这些公式中全都包含了真空光速。如果只为解释已有的新现象，上述这些公式已经足够，但这些公式分别来自不同的假说或不同的模型，而不是共同出自同一个物理理论。而且，使用牛顿绝对时空观来对洛伦兹变换以及所含的真空光速进行解释时却遇到了概念上的困难。这种不协调的状况预示着旧的物理观念即将向新的物理观念的转变。在洛伦兹理论中，变换所引入的量仅仅是数学上的辅助手段，并不包含相对论的时空观。爱因斯坦洞察到解决这种不协调状况的关键是同时性的定义，而牛顿时空理论（或伽利略变换）中的时间没有办法在现实世界中实现。为使用光信号对钟，爱因斯坦假定了单向光速是个常数且与光源的运动无关（光速不变原理）。爱因斯坦以观察到的事实为依据，把伽利略相对性原理直接推广为狭义相对性原理^[2]  ，立足于这两条基本原理，着眼于修正运动、时间、空间等基本概念，重新导出洛伦兹变换，并赋予洛伦兹变换崭新的物理内容。在狭义相对论中，洛伦兹变换是最基本的关系式，狭义相对论的运动学结论和时空性质，如同时性的相对性、长度收缩、时间延缓、速度变换公式、相对论多普勒效应等都可以从洛伦兹变换中直接得出。如果速度v比光速с小很多，而且被观察的物体的运动速度也比光速小很多，则洛伦兹变换就与伽利略变换近似一样。对于日常的力学现象，使用伽利略变换就可以了。然而，对于运动物体的电磁现象，虽然物体的运动速度比光速小很多，但由于电磁相互作用的传播速度是光速，所以仍必须使用洛伦兹变换。

洛伦兹变换数学形式

洛伦兹提出洛伦兹变换是基于以太存在的前提的，然而以太被证实是不存在的，根据光速不变原理，相对于任何惯性参考系，光速都具有相同的数值。爱因斯坦据此提出了狭义相对论。在狭义相对论中，空间和时间并不相互独立，而是一个统一的四维时空整体，不同惯性参考系之间的变换关系式与洛伦兹变换在数学表达式上是一致的，即：

其中x、y、z、t分别是惯性坐标系S下的坐标和时间，x'、y'、z'、t'分别是惯性坐标系S'下的坐标和时间。v是S'坐标系相对于S坐标系的运动速度，方向沿X轴。

由狭义相对性原理，只需在上述洛伦兹变换中把v变成－v，x'、y'、z'、t'分别与x、y、z、t互换，就得到洛伦兹变换的反变换式：

洛伦兹变换是高速运动的宏观物体在不同惯性参考系之间进行坐标和时间变换的基本规律。当相对速度v远小于光速c时，洛伦兹变换退化为经典力学中的伽利略变换：

x'=x－ut　y'=y　z'=z　t'=t

所以，狭义相对论与经典力学并不矛盾，狭义相对论将经典力学扩展到了宏观物体在一切运动速度下的普遍情况，经典力学只是相对论在低速时（v远小于c）的近似情况。一般在处理运动速度不太高的物体时（如天体力学中计算行星的运行轨道），不需考虑到相对论效应，因为用相对论进行处理时计算往往变得非常繁琐，而结果与经典情况相差不大。当处理高速运动的物体时，比如高能加速器中的电子，则必须要考虑相对论效应对结果带来的修正。

洛伦兹变换初等数学推导

洛伦兹变换基本公理

狭义相对性原理：一切物理定律（力学定律、电磁学定律以及其他相互作用的动力学定律）在所有惯性系中均有效；或者说，一切物理定律的方程式在洛伦兹变换下保持数学形式不变。

光速不变原理：单向光速是个常数且与光源的运动无关。换言之，在所有惯性系中，真空中的光速不变。^[2] 

洛伦兹变换推导过程

洛伦兹变换可以由狭义相对性原理和光速不变原理推导出来。下面根据这两个基本原理，推导坐标的变换式。

狭义相对论

设想有两个惯性坐标系S系、S'系，S'系的原点O'相对S系的原点O以速率v沿X轴正方向运动。任意一事件在S系、S'系中的时空坐标分别为（x，y，z，t）、（x'，y'，z'，t'）。t、t'分别是S系和S'系时刻。两惯性坐标系重合时，分别开始计时.

若x= 0，则x'+vt' =0。这是变换须满足的一个必要条件，故猜测任意一事件的坐标从S'系到S系的变换为

x=γ（x'+vt'） (1)

式中引入了常数γ，命名为洛伦兹因子。

引入相对性原理，即不同惯性系的物理方程的形式应相同。故上述事件坐标从S系到S'系的变换为

x'=γ（x－vt） (2)

y与y'、z与z'的变换可以直接得出，即

y'=y (3)

z'=z (4)

把（2）代入（1），解t'得

t'=γt +(1－γ²) x/γv (5)

在上面推导的基础上，引入光速不变原理，以寻求γ的取值。

由重合的原点O（O'）发出一束沿X轴正方向的光，设光束的波前坐标为（X，Y，Z，T)、(X'，Y'，Z'，T')。根据光速不变原理，有

X=cT (6)

X'=cT' (7)

相对论的光速不变原理得出：坐标值X等于光速c乘时刻T，坐标值X'等于光速c乘时刻T'。（1）（2）相乘得

xx'=γ²(xx'－x'vt+xvt'－v²tt') (8)

以波前这一事件作为对象，则（8）写成

XX'=γ²(XX'－X'VT+XVT'－V²TT') (9)

（6）（7）代入（9），化简得洛伦兹因子

γ= (1－（v/c）²)^－1/2 (10)

（10）代入（5），化简得

t'=γ(t－vx/c²) (11)

把（2）、（3）、（4）、（11）放在一起，即S系到S'系的洛伦兹变换

x'=γ(x－vt)，

y'=y，

H.A.洛伦兹

z'=z，

t'=γ(t－vx/c²) (12)

根据相对性原理，由（12）得S'系到S系的洛伦兹变换

x=γ(x'+vt')，

y=y'，

z=z'，

t=γ(t'+vx'/c²) (13)

洛伦兹变换结合动量定理和质量守恒定律，可以得出狭义相对论的所有结论。

爱因斯坦在1905年提出的狭义相对论（一种新的平直时空理论），出发点是两条基本假设：狭义相对性原理和光速不变原理。理论的核心方程式是洛伦兹变换。狭义相对论预言了牛顿经典物理学所没有的一些新效应（相对论效应），如时间膨胀、长度收缩、横向多普勒效应、质速关系、质能关系等，它们已经获得大量实验的直接证明。狭义相对论已经成为现代物理理论的基础之一：一切微观物理理论（如基本粒子理论）和宏观引力理论（如广义相对论）都满足狭义相对论的要求。这些相对论性的动力学理论已经被许多高精度实验所证实^[2]  。

洛伦兹变换群论推导

相对性原理和光速不变的物理原理是狭义相对论通常的出发点。实际上洛伦兹变换并不取决于光的物理性质——最重要的是粒子间的作用的定域性：一粒子对另外一粒子的影响作用不能任意快地传递，而作用传递的极限速度必须是在所有参考系一样的速度，此速度等于真空中光速。

所有参考系间转换以转换叠加作为乘法组成一个群。它们符合以下公理：

1. 闭合：两个参考系转换叠加得另外一转换。以[K→K']写K到K'。对于任意三个参考系

[K→K''] = [K→K'][K'→K''] 。

2. 结合律：[K→K'] ([K'→K''][K''→K''']) = ([K→K'] [K'→K''])[K''→K'''] 。

3. 单位元：存在保留参考系的单位转换 [K→K] 。

4. 逆元：对任何参考系转换 [K→K'] 都有返回原本参考系的转换[K'→K] 。

符合群公理的转换矩阵。考虑两个参照系K和K'，K'的原点相对K原点速度为v（设运动方向为Z方向，以下忽略无关的X和Y方向）。出于时空的均匀性，洛伦兹变换必须保留惯性运动，因此它必须是一个线性转换而可以以矩阵表示：

以上Λ_{i j}是有待计算的矩阵元，它们是相对速度v的函数。

参考系K'的原点O'在参照系K的运动：

得 Λ₂₁ + vΛ₂₂ = 0

同样参照系K的原点O在参照系K'的运动：

得 Λ₂₁+vΛ₁₁= 0

因此主斜两项相等且可称为γ ≡Λ₁₁= Λ₂₂。还有 Λ₂₁= －vγ ：

因为t' =γt，γ的意义就是时间膨胀的因子。因为时空的各向同性，γ只能取决于速度而不取决于方向。也就是说γ(－v)=γ(v)。群元可逆因此取逆矩阵：

当然逆转换只等同于反方向同速的转换。运用上段γ的性质

每项比较得到：γ²+Λ₁₂vγ= 1

从群的闭合性要求连续两次转换等于以速度和的单次转换，也就是说两个矩阵的积：

必须拥有同样的矩阵型式。这意味着主斜线上两项相等。因此以下比例：

必须是一个和参考系相对速度无关的常数。 插入较前等式得的定义：

γ= (1 +kv²)^－1/2

而最广泛的洛伦兹变换矩阵型式为：

这里c²=∣k∣^－1就是转换的不变速度。如果k >0，c是一个速度的下限，明显与物理现实不符，因此k≤0。但还可以分成k= 0和k < 0两种情形：

k= 0得伽利略变换矩阵：

在此情况下时间是绝对的：t= t′ 。

在更一般c = (－k)^－1/2 小于无穷大的情况就得到洛伦兹变换矩阵：

洛伦兹变换几何理解

在平面几何，一个矢量在某坐标系为（x，y）。如果在原点以θ旋转原本坐标轴做新的坐标系（x'，y'）。在新系统内，同一矢量坐标为：

虽然矢量的坐标在不同坐标系里面不一样，它的长度不变：(x')²+(y')²= (x)²+(y)² 。如果以另外角度φ再旋转一次，那矢量新坐标和原坐标关系为：

即连续的转角可加。

可以相似般把洛伦兹变换看成一种类似的坐标旋转。定义快度w= arctanhβ。那以上洛伦兹变换公式可以写成（略去不受影响的x²和x³）：

也就是说，洛伦兹变换数学上等同于双曲角旋转。此坐标“旋转”中类似“长度”的不变量是：

(x'⁰)²－(x'¹)²= (x⁰)²－(x¹)² 。

洛伦兹变换四维矢量形式

利用 w=ict 将事件坐标 (t，x，y，z) 改写为四维矢量 (w，x，y，z)，则其模方是洛伦兹不变量（时空距离的相反数），此时洛仑兹变换成为该矢量的旋转变换。用方程组描述，就是

也可以用矩阵的语言描述：^[3]