HDU 4870 Rating（高斯消元 ）

HDU 4870   Rating

这是前几天多校的题目，高了好久突然听旁边的大神推出来说是可以用高斯消元，一直喊着赶快敲模板，对于从来没有接触过高斯消元的我来说根本就是一头雾水，无赖之下这几天做DP，正好又做到了这个题，没办法得从头开始看，后来在网上找了别人的高斯消元的模板后发现其实也还是很好理解，就是先构造一个增广矩阵，然后化行阶梯形，最后迭代求解

首先有一个介绍高斯消元感觉过于详细的博客http://blog.csdn.net/tsaid/article/details/7329301

首先看一下这个题怎么构造这个增广矩阵，我们把所有可以达到的分数组合作为一个点，再考虑它与其他点所连的边，例如：

(300, 200)<--(1-p)----(300, 300)-----(p)----->(350, 300)

      a                               b                                    c

我们就可以理解为有一条b--->a的权值为（1-p）的边，有一条b---->c的权值为p的边，那这样首先构造状态转移方程：

DP[b] = 1 + (1-p) * DP[a] + p * DP[c]

变形后得到:

DP[b] - p * DP[c] - (1-p) * DP[a] = 1;

这就是我们的增广矩阵的系数了，对于方程的一般形式Ax = B，可以理解为第b个方程中的变元的系数为A[b][b] = 1, A[b][c] = p, A[b][a] = (1-p),B[b] = 1

这样就构造出了一个（A，B）的一个增广矩阵，保存在a中

然后就是高斯消元化行阶梯行，看看代码很好理解，就只有两个操作r1<-->r2，交换两行，r2 = r2 - r1 * a   (其中a为一个常系数)

第一次写Gauss 代码比较戳，可以根据网上详细的介绍结合代码看，很容易懂的

void gauss()
{
        int col = 0;
        for(int k=0;k<cnt && col < cnt;k++, col ++)
        {
                    double Max = fabs(a[k][col]);
                    int  Maxr = k;
                    for(int r = k + 1; r < cnt; r ++)
                            if( fabs(a[r][col])  -  Max  >  eps  )
                                    Max  =  fabs( a[Maxr = r][col] );
                    if(fabs(Max) < eps)  {  k --;  continue;  }
                    for(int c = col;c<=cnt; c ++ )
                            SWAP(a[Maxr][c],  a[k][c]  );
                    for(int r = k + 1; r < cnt; r ++ ) if( fabs(a[r][col]) > eps  )
                    {
                            double tmp = a[r][col] / a[k][col];
                            for(int c = col; c <= cnt; c ++ )
                                    a[r][c] -= tmp * a[k][c];
                    }
        }
}

化行阶梯行后就是迭代求解了，由于这里一定有解，所以不需要判断无解的情况，直接算就是了

       for(int r=cnt-1;r>=0;r--)
        {
                    for(int c = cnt-1;c>r;c--)
                            a[r][cnt] -= a[r][c] * ans[c];
                    ans[r] = a[r][cnt] / a[r][r];
        }

最后的总复杂度就是O(n^3)n接近200

另外还有一个复杂度O(n)的解法的思路（N=20）http://www.cnblogs.com/gj-Acit/p/3888390.html

#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define INF ((LL)100000000000000000)
#define inf (-((LL)1<<40))
#define lson k<<1, L, mid
#define rson k<<1|1, mid+1, R
#define mem0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define mem1(a) memset(a,-1,sizeof(a))
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define FOPENIN(IN) freopen(IN, "r", stdin)
#define FOPENOUT(OUT) freopen(OUT, "w", stdout)
template<class T> T CMP_MIN ( T a, T b ) { return a < b;   }
template<class T> T CMP_MAX ( T a, T b ) { return a > b;   }
template<class T> T MAX ( T a, T b ) { return a > b ? a : b; }
template<class T> T MIN ( T a, T b ) { return a < b ? a : b; }
template<class T> T GCD ( T a, T b ) { return b ? GCD ( b, a % b ) : a; }
template<class T> T LCM ( T a, T b ) { return a / GCD ( a, b ) * b;       }
template<class T> void SWAP( T& a, T& b ) { T t = a; a = b;  b = t; }

//typedef __int64 LL;
typedef long long LL;
const int MAXN = 255;
const int MAXM = 110000;
const double eps = 1e-12;
int dx[4] = { -1, 0, 0, 1};
int dy[4] = {0, -1, 1, 0};

double p;
int  id[30][30], cnt, N = 20;
double G[400][400], a[300][300], ans[300];
struct NODE
{
        int u, d;
        NODE(){}
        NODE(int _u, int _d):u(_u), d(_d){}
};

void preInit()
{
        cnt = 0;
        for(int i=0;i<=N-1;i++)
        {
                for(int j = 0; j <= i; j ++ )
                {
                        id[i][j] = cnt++;
                }
        }
        id[N][N-1] = cnt ++;
}

void init()
{
        preInit();
        mem0(G);mem0(a);
        for(int i=0;i<=N-1;i++)
        {
                for(int j=0;j<=i;j++)
                {
                        int nx = MAX(i, j + 1), ny = MIN(i, j + 1);
                        G[id[i][j]][id[nx][ny]] = p;
                        nx = i; ny = (j- 2) >= 0 ? j-2 : 0;
                        G[id[i][j]][id[nx][ny]] = 1-p;
                }
        }
        for ( int i = 0; i < cnt; i++ )
        {
                a[i][i] = a[i][cnt] = 1.0;
                if ( i == cnt-1 ) { a[i][cnt] = 0; }
                for ( int j = 0; j < cnt; j++ ) if ( fabs ( G[i][j] ) > eps )
                            a[i][j] -= G[i][j];
        }
}


void gauss()
{
        int col = 0;
        for(int k=0;k<cnt && col < cnt;k++, col ++)
        {
                    double Max = fabs(a[k][col]);
                    int  Maxr = k;
                    for(int r = k + 1; r < cnt; r ++)
                            if( fabs(a[r][col])  -  Max  >  eps  )
                                    Max  =  fabs( a[Maxr = r][col] );
                    if(fabs(Max) < eps)  {  k --;  continue;  }
                    for(int c = col;c<=cnt; c ++ )
                            SWAP(a[Maxr][c],  a[k][c]  );
                    for(int r = k + 1; r < cnt; r ++ ) if( fabs(a[r][col]) > eps  )
                    {
                            double tmp = a[r][col] / a[k][col];
                            for(int c = col; c <= cnt; c ++ )
                                    a[r][c] -= tmp * a[k][c];
                    }
        }
        for(int r=cnt-1;r>=0;r--)
        {
                    for(int c = cnt-1;c>r;c--)
                            a[r][cnt] -= a[r][c] * ans[c];
                    ans[r] = a[r][cnt] / a[r][r];
        }
}

int main()
{
//        FOPENIN ( "in.txt" );
//       FOPENOUT("out.txt");
        while ( ~scanf ( "%lf", &p ) )
        {
                init();
               gauss();
                printf("%.9lf
", ans[0]);
        }
        return 0;
}