bzoj1911 [ APIO2010 ] -- 斜率优化

简单的斜率优化。

首先得到DP方程:

f[i]=max(f[j]+a*(sum[i]-sum[j])²+b*(sum[i]-sum[j])+c),j<i

其中sum表示前缀和

设j比k优

f[j]+a*(sum[i]-sum[j])²+b*(sum[i]-sum[j])+c>f[k]+a*(sum[i]-sum[k])²+b*(sum[i]-sum[k])+c

f[j]+a*s[j]²-b*s[j]-(f[k]+a*s[k]²-b*s[k])>2*a*s[i]*(s[j]-s[k])

然后就可以斜率优化了。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define N 1000010
#define ll long long
inline char nc(){
    static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
    if(p1==p2){
        p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin);
        if(p1==p2)return EOF;
    }
    return *p1++;
}
inline void Read(int& x){
    char c=nc(),b=1;
    for(;c<'0'||c>'9';c=nc())if(c=='-')b=-1;
    for(x=0;c>='0'&&c<='9';x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=nc());x*=b;
}
inline void Read(ll& x){
    char c=nc(),b=1;
    for(;c<'0'||c>'9';c=nc())if(c=='-')b=-1;
    for(x=0;c>='0'&&c<='9';x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=nc());x*=b;
}
ll y[N],f[N],s[N],k,a,b,c;
int i,j,n,m,ch[N],Top,A;
int main()
{
    Read(n);Read(a);Read(b);Read(c);
    for(i=1;i<=n;i++)Read(A),s[i]=s[i-1]+A;
    for(i=1;i<=n;i++){
        k=(a<<1)*s[i];
        while(j<Top&&k*(s[ch[j+1]]-s[ch[j]])<=y[ch[j+1]]-y[ch[j]])j++;
        f[i]=f[ch[j]]+a*(s[i]-s[ch[j]])*(s[i]-s[ch[j]])+b*(s[i]-s[ch[j]])+c;
        y[i]=f[i]+a*s[i]*s[i]-b*s[i];
        while(Top>j&&(y[i]-y[ch[Top-1]])*(s[ch[Top]]-s[ch[Top-1]])>=(y[ch[Top]]-y[ch[Top-1]])*(s[i]-s[ch[Top-1]]))Top--;
        ch[++Top]=i;
    }
    printf("%lld",f[n]);
    return 0;
}