方程1/a±1/b=1/c的整数解的个数
最近一直在想方程1/a1+1/a2+...+1/an=1的整数解的个数,限于智力原因无果,退而求其次思考更基础的1/a±1/b=1/c问题,没想到居然成功的得到了不错的结果.
上一次脑残 手残了,这次重来!
先考虑方程1/a+1/b=1/c
通分得 ac+bc=ab
==================以下是修正版====================
移项得
a(b-c)=bc
b(a-c)=ac
两式相乘得ab(c-a)(c-b)=abc^2
约分得
(c-a)(c-b)=c^2
因为a,b,c均为整数
所以(a-c),(b-c)均为c^2的因子
所以解的个数为c^2因子个数
独立的解的个数为(c^2因子个数+1)/2 (注意a=b=2c之被计算了一次)
=====================这是华丽的分割线=================
对于方程1/a-1/b=1/c
=================以下是修正版===============
同上可得
bc-ac=ab
b(c-a)=ac
a(b+c)=bc
相乘得
ab(b+c)(c-a)=ab*c^2
约分得
(b+c)(c-a)=c^2
好吧 和上面又一样了
答案是c^2的因子个数,因为不存在独立解的问题
======================华丽的分割线==================
至此问题解决,如有纰漏,欢迎指出
本来想把这个问题推广一下的
但是限于智商问题
碰到类似bc/(b+c)-d=x (b,c为需要求解的量,d为已知量,x为任意整数)
完全没有思路所以...........你懂的
如有更好的方法欢迎交流