zoukankan      html  css  js  c++  java

  • 具体数学-第2课（成套方法求解递归式）

    原文链接：

    具体数学-第2课 - WeiYang Blog

    今天主要讲了关于递推式和求和的一些方法，主要是成套方法。

    约瑟夫环推广

    上一节课说到，约瑟夫环问题的解是
    [f(n) = 2l + 1]
    其中 (n = {2^m} + l)
    将 (n) 写成二进制可以发现， (f(n)) 就是 (n) 的二进制循环左移1位。
    现在做一下推广，求解如下递推式：
    egin{array}{l}f(1) = alpha \f(2n) = 2f(n) + eta \f(2n + 1) = 2f(n) + gamma end{array}
    可以设
    [f(n) = A(n)alpha + B(n)eta + C(n)gamma ]
    同样，令 (n = {2^m} + l)
    可以解出
    egin{array}{l}A(n) = {2^m}\B(n) = {2^m} - 1 - l\C(n) = lend{array}
    再从二进制角度理解一下，将递推式继续推广：
    [egin{array}{*{20}{l}}{f(j) = {alpha _j},1 le j < d}\{f(dn + j) = cf(n) + {eta _j},0 le j le d,n ge 1}end{array}]
    可以得到解为
    [f({({b_m}{b_{m - 1}} ldots {b_1}{b_0})_d}) = {({alpha _{{b_m}}}{eta _{{b_{m - 1}}}}{eta _{{b_{m - 2}}}} ldots {eta _{{b_1}}}{eta _{{b_0}}})_c}]

    递推式求和

    求解如下递推式：
    egin{array}{l}{R_0} = alpha \{R_n} = {R_{n - 1}} + eta n + gamma end{array}
    用成套方法求解，设
    [{Rn} = A(n)alpha + B(n)eta + C(n)gamma ]
    首先令 {R_n} = 1 ，可以得到 alpha = 1,eta = 0,gamma = 0 ，所以 (A(n) = 1) 。
    再令 {R_n} = n ，可以得到 (alpha = 0,eta = 0,gamma = 1) ，所以 (C(n) = n) 。
    最后令 ({R_n} = {n^2}) ，可以得到 (alpha = 0,eta = 2,gamma = - 1) ，所以 (2B(n) - C(n) = {n^2}) ，所以 (B(n) = ({n^2} + n)/2)

    再来一个更复杂的递推式：
    egin{array}{l}{R_0} = alpha \{R_n} = 2{R_{n - 1}} + eta n + gamma end{array}
    同样的方法，设
    {R_n} = A(n)alpha + B(n)eta + C(n)gamma
    首先令 ({R_n} = 1) ，可以得到 (alpha = 1,eta = 0,gamma = -1) ，所以 (A(n) - C(n) = 1) 。
    再令 ({R_n} = n) ，可以得到 (alpha = 0,eta = -1,gamma = 2) ，所以 (2C(n) - B(n) = n) 。
    这时候能不能令 ({Rn} = {n^2}) 呢？答案是不能，因为如果 ({R_n} = {n^2}) ，那么
    [{n^2} = 2{(n - 1)^2} + eta n + gamma ] 显然不可能成立。
    观察系数，可以令 ({R_n} = 2^n) ，可以得到 (alpha = 1,eta = 0,gamma = 0) ，所以 (A(n) = 2^n) 。
    所以
    [A(n) = {2^n},B(n) = {2^{n + 1}} - n + 2,C(n) = {2^n} + 1]
  • 相关阅读:
    第二章例2-9
    第二章例2-8
    第二章例2-7
    第二章例2-6
    第二章例2-5
    第二章例2-4
    第二章例2-3
    第二章例2-2
    第二章例2-1
    第一章例1-2
  • 原文地址：https://www.cnblogs.com/godweiyang/p/12203934.html
Copyright © 2011-2022 走看看