动态规划系列之九找零钱

问题

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。

coins = [1,2,5]
amount = 11
结果：3，硬币为：5，5，1

解决过程

解题思路

动态规划解题思路是：将大的问题拆解成小一点问题，小问题和大问题的解决思路是类似的
给定一个总金额11，有三种硬币：1,2,5。
将问题的规模减少：凑11难凑，就凑10，如果10难凑就凑9，一直到凑1，凑0。

建立数学模型

添加数组dp，表示凑到某一个数值的最小硬币数。如dp[1]就代表金额为1的最少硬币数，dp[10]就代表金额为10的最少硬币数。该dp数组长度为12，从金额为0到11，初始化为：

[12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12]

之所以初始化为12，是总金额+1，因为可能会存在凑不到这个数的情况。当凑不到时，dp[-1]=12，凑得到时，即使硬币金额最小为1，也只用11即可。

状态转移方程

当要凑成的金额为0时：

dp = [0,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12]

金额为1时：
由于硬币有 1、2、5，所以，金额大于硬币1的数额，所以一块硬币价值为1即可

dp = [0,1,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12]

金额为2时：
金额为2是，金额大于硬币1，硬币2，所以有两种方案可以凑齐。
1、某一个金额加上硬币2，那么就是金额0 + 硬币2 dp[0] = 0，所以dp[2] = 1
2、某一个金额加上硬币1，那么就是金额1 + 硬币1 dp[1] = 1，所以dp[2] = dp[1] + 1 = 2

选择最小的，所以dp[2] = 1

dp = [0,1,1,12,12,12,12,12,12,12,12,12]

金额为3时：
金额大于硬币1，硬币2，所以有两种方案
某一个金额加上硬币2，就是 金额1 + 硬币2 dp[3-2] + 1。dp[3-2]，意思就是金额3减去硬币2，得到的金额1其最小的组成硬币数。dp[3] = dp[3-1] + 1 = 2

某一个金额加上硬币1，就是 金额2 + 硬币1 dp[3-1] + 2。dp[3-1],意思就是 金额3 - 硬币1，得到的金额其最小组成的硬币数。dp[3] = dp[3-2] + 1 = 2
所以，金额3时，dp[3] = 2

dp = [0,1,1,2,12,12,12,12,12,12,12,12]

金额为4时：
金额大于硬币1，硬币2，所以有两种方案
金额为2 + 硬币2，即 dp[4-2] + 1,dp[4] = 2
金额为3 + 硬币1，即 dp[4-1] + 1,dp[4] = 3
所以，金额为4时，dp[4] = 2

dp = [0,1,1,2,2,12,12,12,12,12,12,12]

金额为5时：
金额大于硬币1，硬币2，硬币5，所以有三种方案
金额为4 + 硬币1，即 dp[5-1] + 1,dp[5] = 2 + 1 = 3
金额为3 + 硬币2，即 dp[5-2] + 1,dp[5] = 2 + 1 = 3
金额为0 + 硬币5，即 dp[5-5] + 1,dp[5] = 1
所以，dp[5] = 1

dp = [0,1,1,2,2,5,12,12,12,12,12,12]

最终按照这个规律，算出dp所有的数值。

代码

示例 1：
输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3 
解释：11 = 5 + 5 + 1

def coinChange(coins, amount):
    # 构建dp动态数组
    dp = [amount + 1] * (amount + 1)
    # 初始化
    dp[0] = 0
    
    for i in range(1, amount + 1):
        # 每一个金额，所有能凑成的方案的硬币数，最后取最小值
        temp = [dp[i]]
        for coin in coins:
            # 当金额大于某一个硬币时才考虑，否则一定无法用大额硬币凑成小额
            if i >= coin:
                temp.append(dp[i-coin]+1)
        dp[i] = min(temp)
    print(dp)
    return -1 if dp[-1] == amount + 1 else dp[-1]

coins = [1, 2, 5]
amount = 11
res = coinChange(coins, amount)
print(res)

小结

动态规划系列到这一篇就算完结了，个人感觉动态规划是算法中很有难度，有技巧，有魅力的一种算法。为了学明白这一种算法，我也很多次在深夜里思考求解。当我觉得自己似乎掌握了浅显的规律之后，就把它记录下来。这当然是我个人不太成熟的思想，动态规划的深奥远不是我能用9篇文章说明白的。但是，希望读者能从这9篇文章学到一点我的经验，摸到解决动态规划问题的门槛。最后用我最喜欢的宫崎骏的动漫大集合作为本篇的封面。