错排公式

错排公式

百科名片

pala提出的问题： 十本不同的书放在书架上。现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法？ 这个问题推广一下，就是错排问题： n个有序的元素应有n！种不同的排列。如若一个排列式的所有的元素都不在原来的位置上，则称这个排列为错排。

目录

递推的方法推导错排公式

容斥原理

简化公式

编辑本段递推的方法推导错排公式

当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用M(n）表示，那么M(n-1）就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的方法数，其它类推.

第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；

第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有M(n-2）种方法；⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有M(n-1）种方法；

综上得到

M(n)=(n-1）[M(n-2）+M(n-1）]

特殊地，M⑴=0,M⑵=1

下面通过这个递推关系推导通项公式：

为方便起见，设M(k)=k!N(k),(k=1,2，…，n)

则N⑴=0,N⑵=1/2

n>=3时，n!N(n)=(n-1）（n-1）！N(n-1）+(n-1）！N(n-2）

即 nN(n)=(n-1）N(n-1）+N(n-2）

于是有N(n)-N(n-1）=-[N(n-1）-N(n-2）]/n=(-1/n)[-1/(n-1）][-1/(n-2）]…（-1/3）[N⑵-N⑴]=(-1）^n/n!

因此

N(n-1）-N(n-2）=(-1）^(n-1）/(n-1）！

N⑵-N⑴=(-1）^2/2!

相加，可得

N(n)=(-1）^2/2!+…+(-1）^(n-1）/(n-1）！+(-1）^n/n!

因此

M(n)=n![(-1）^2/2!+…+(-1）^(n-1）/(n-1）！+(-1）^n/n!]

可以得到

错排公式为M(n)=n！（1/2!-1/3!+…..+(-1）^n/n!)

编辑本段容斥原理

正整数1、2、3、……、n的全排列有n！种，其中第k位是k的排列有（n-1）！，当k取1、2、3、……、n时，共有n*（n-1）！种排列，由于是错排，这些排列应排除，但是此时把同时有两个数不错排的排列多排除了一次，应补上；在补上时，把同时有三个数不错排的排列多补上了一次，应排除；……；继续这一过程，得到错排的排列种数为

M(n)=n!-n!/1!+n!/2!-n!/3!+…+(-1）^n*n!/n!=sigma(k=2~n) (-1）^k*n!/k!

即M(n)=n![1/0!-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!+..+(-1）^n/n!]

注：sigma表示连加符号，（k=2~n）是连加的范围

编辑本段简化公式

另外：书上的错排公式为Dn=n！（1/0!-1/1!+1/2!-1/3!-.....+(-1）^n/n！）（注：0！=1，参见阶乘），此公式算n很大时就很不方便．后来发现它可以用级数知识化简为1个优美的式子Dn=[n!/e+0.5] （e，即自然对数的底 ,[x]为取整函数即x向下取整．）

公式证明较简单．观察一般书上的公式，可以发现e-1的前项与之相同，然后作比较可得/Dn-n!e-1/<1/(n+1）<0.5，于是就得到这个简单而优美的公式（此仅供参考

 

看完这些估计可以做出这道题啦！！

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2049 

这道题的做法是求第N个数种的有几个错排的种数。  m=C(n,m)*f(m);然后就可以直接写代码了。。。。

                                                                        

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    
    int m,n,i,j,t;
    long long arr[21]={0,0,1},sum1,sum2;
    for(i=3;i<=20;i++)
    {
        arr[i]=(i-1)*(arr[i-1]+arr[i-2]);
    }
    while(cin>>n>>m)
    {
        sum1=sum2=1;
        for(i=m,j=n;i>0;i--,j--)
        {
          sum1*=i,sum2*=j;
        }

        cout<<(sum2/sum1)*arr[m]<<endl;
    }
    return 0;
}

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1465

//直接错排公式就行了....f(n)=(n-1)*(f(n-1)+f（n-2）);
//或者 f(n)=n!(1/2!-1/3!+......(-1)^n/n!);
//或者 f（n）=【n！/e+0.5】；
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    long long arr[21]={0,0,1};
    for(int i=3;i<=20;i++)
        {
         arr[i]=(i-1)*(arr[i-1]+arr[i-2]);
        }
    int n;
    while(cin>>n)
        cout<<arr[n]<<endl;;
    return 0;
}

暂且就归纳这么多吧！！以后再续不.....