[LeetCode] 1027. Longest Arithmetic Subsequence 最长的等差数列

Given an array A of integers, return the length of the longest arithmetic subsequence in A.

Recall that a subsequence of A is a list A[i_1], A[i_2], ..., A[i_k] with 0 <= i_1 < i_2 < ... < i_k <= A.length - 1, and that a sequence B is arithmetic if B[i+1] - B[i] are all the same value (for 0 <= i < B.length - 1).

Example 1:

Input: A = [3,6,9,12]
Output: 4
Explanation:
The whole array is an arithmetic sequence with steps of length = 3.

Example 2:

Input: A = [9,4,7,2,10]
Output: 3
Explanation:
The longest arithmetic subsequence is [4,7,10].

Example 3:

Input: A = [20,1,15,3,10,5,8]
Output: 4
Explanation:
The longest arithmetic subsequence is [20,15,10,5].

Constraints:

• 2 <= A.length <= 1000
• 0 <= A[i] <= 500

这道题给了一个数组，让找最长的等差数列的长度，暴力搜索的时间复杂度太大，这里就不考虑了。像这种玩数组，求极值的题，刷题老司机们应该很容易就反应出应该用动态规划 Dynamic Programming 来做，首先来考虑如何定义 DP 数组，最直接的就是用一个一维数组，其中 dp[i] 表示区间 [0, i] 中的最长等差数列的长度，但是这样定义的话，很难找出状态转移方程。因为有些隐藏信息被我们忽略了，就是等差数列的相等的差值，不同的等差数列的差值可以是不同的，所以不包括这个信息的话将很难更新 dp 值。所以这里就需要一个二维数组，dp[i][j] 表示在区间 [0, i] 中的差值为j的最长等差数列的长度减1，这里减1是因为起始的数字并没有被算进去，不过不要紧，最后再加回来就行了。还有一个需要注意的地方，由于等差数列的差值有可能是负数，而数组的下标不能是负数，所以需要处理一下，题目中限定了数组中的数字范围为0到 500 之间，所以差值的范围就是 -500 到 500 之间，可以给差值加上个 1000，这样差值范围就是 500 到 1500 了，二维 dp 数组的大小可以初始化为 nx2000。更新 dp 值的时候，先遍历一遍数组，对于每个遍历到的数字，再遍历一遍前面的所有数字，算出差值 diff，再加上 1000，然后此时的 dp[i][diff] 可以赋值为 dp[j][diff]+1，然后用这个新的 dp 值来更新结果 res，最后别忘了 res 加1后返回，参见代码如下：

class Solution {
public:
    int longestArithSeqLength(vector<int>& A) {
        int res = 0, n = A.size();
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(2000));
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                int diff = A[i] - A[j] + 1000;
                dp[i][diff] = dp[j][diff] + 1;
                res = max(res, dp[i][diff]);
            }
        }
        return res + 1;
    }
};

Github 同步地址:

https://github.com/grandyang/leetcode/issues/1027

参考资料：

https://leetcode.com/problems/longest-arithmetic-subsequence/

https://leetcode.com/problems/longest-arithmetic-subsequence/discuss/274611/JavaC%2B%2BPython-DP

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