Start from integer 1, remove any integer that contains 9 such as 9, 19, 29...
So now, you will have a new integer sequence: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, ...
Given a positive integer n, you need to return the n-th integer after removing. Note that 1 will be the first integer.
Example 1:
Input: 9 Output: 10
Hint: n will not exceed 9 x 10^8.
这道题让我们移除所有包含数字9的数字，然后得到一个新的数列，给了一个数字n，求在这个新的数组中第n个数字。多写些数字来看看：
0，1，2，3，4，5，6，7，8 （移除了9）
10，11，12，13，14，15，16，17，18 （移除了19）
.....
80，81，82，83，84，85，86，87，88 （移除了89）
（移除了 90 - 99 ）
100，101，102，103，104，105，106，107，108 （移除了109）
可以发现，8的下一位就是10了，18的下一位是20，88的下一位是100，实际上这就是九进制的数字的规律，那么这道题就变成了将十进制数n转为九进制数，这个就没啥难度了，就每次对9取余，然后乘以 base，n每次自除以9，base 每次扩大10倍，参见代码如下：
解法一：
class Solution { public: int newInteger(int n) { long res = 0, base = 1; while (n > 0) { res += n % 9 * base; n /= 9; base *= 10; } return res; } };
我们也可以写的更简洁一些，不用 base 变量，将结果 res 先当作字符串来处理，最后再转回整型数，参见代码如下：
解法二：
class Solution { public: int newInteger(int n) { string res = ""; while (n > 0) { res = to_string(n % 9) + res; n /= 9; } return stoi(res); } };
将十进制数转为九进制只能算 Easy 的题目，既然这道题标记了 Hard，我们就不应该只满足于此。因为数字9是个特例，可以用上面的巧妙的解法，但如果要移除1到8中间的任意一个呢？上面的方法就不好使了，还是要来看看通用的解法。又来读 fun4LeetCode 大神的 paper 了，这次大神收着写的，不算太长，还是可以好好读一读的。这里不管是移出那个数字，新数组中的第n个数字的值m，都是要大于n本身的，将多出的数的个数用 f(1, m) 表示，则有：
m - f(1, m) = n
要求m的话，就要先求出 f(1, m) 的值，然后加上n的值，就能得到m了。这道题无法直接求出m的值，而是采用一种迭代逼近的方法来算m。最开始的时候，让m为n，先求 f(1, n) 的值，比如说结果为k，然后再算 f(1, n + k) 的值，用得到的结果 k' 来更新k，再带入算 f(1, n + k)，直到 k == f(1, n + k) 为止，那么此时的 n + k 就是要求的m。
下面来看如何计算 f(1, m)，当然不可能遍历所有的数字，一位一位来查看有没有要移除的数字了，太不高效了。再来看看开头列举的前 99 个数字中移除9后剩下的数字，统计一下，总共去掉了 19 个包含9的数字。那么想一下，如果前 99 个数字中要移除所有包含2的数字，会去掉多少个？其实还是 19 个，可以发现，前 99 个数字，不论去掉哪个数字，都会去掉 19 个数字。这是一个很重要的发现，再来看看这19个数是怎么分布的，首先每 10 个数都一定会包含一个要移除的数，比如要移除的是9，每 10 个数都会有一个9出现，而在 90 几那一行，10 个数都会包含9，所以都要移除，那么可以总结出规律，非移除数开头的其他9行，各移除1个，移除数开头的 10 个都要移除，所以就有 10+9=19 个。好，那么这是前 99 个数的情况，那么前 999 个数又是什么情况呢？其实很类似，非移除数开头的9行各有 19 个，移除数开头的有 10x19 个，所以整个就是 19x19 个，所以 19 这个基数很重要。
好，下面来看看各位上的数字a跟要移除数d之间的关系。有三种关系，分别是小于，等于，大于：
1）当 a < d 时，比如说要移除的数字是6，那么a就是1到5中的数，我们知道，每 10 个数中只含有一个6，所以就要移除a个6就行了，如果a在百位上，就是是 a * 19 个，然后再加上下一位上移除的值，用等式来写就是：
T(1, m) = a_i * (10^i - 9^i) + T(1, m % 10^i)
2）当 a = d 时，那么a此时为6，如果a是十位上的数，那么前面 [1, 59] 中的5个6要先移除掉，然后此时下一位有多少个数移除多个数，还要加上1。比如m如果是 63，那么 60, 61, 62, 63 这四个数要移除，怎么算的，通过 m%10 + 1 来计算，所以整个用等式来写就是：
T(1, m) = a_i * (10^i - 9^i) + m % 10^i + 1
3）当 a > d 时，比如此时a为8，要移除的数字还是6，那么 [60, 69] 这 10 个数都要移除，那么实际上还要再移除7个6，分别是 [1,9], [10,19], [21,29], [31,39], [41,49], [51,59], [71,79] 这7个区间中的6，那么是怎么算的，通过 a - 1 来算，实际上是情况1的值再加上 10^i 个数，用等式来写就是：
T(1, m) = (a_i - 1) * (10^i - 9^i) + 10^i + T(1, m % 10^i) = a_i * (10^i - 9^i) + 9^i + T(1, m % 10^i)
参见代码如下：
解法三：
class Solution { public: int newInteger(int n) { long d = 9, pre = 0, cur = 0; while (true) { pre = cur; cur = helper(n + cur, d); if (cur == pre) break; } return n + cur; } long helper(long m, long d) { long res = 0, p = 1, q = 1; for (long i = m; i >= 10; i /= 10) { p *= 10; q *= 9; } for (long i = m; i >= d; i %= p, p /= 10, q /= 9) { long a = i / p; res += a * (p - q); if (a == d) { res += i % p + 1; break; } else if (a > d) { res += q; } } return res; } };
讨论：对于移除任意数字的一般情况，热心网友 majestyhao 给了一种更加简便的方法，这种解法是基于解法一而来的，是说不论移除任何数字，都先当作是移除9，统统都先转为九进制数，然后再对每一位上的数字做特殊处理，假如其大于等于要移除的数字，将就对应位上的数字加上个1，这里并不用担心进位的问题，因为九进制的数字不会出现9，现在是将原来的九进制数当作十进制数来做加法。博主试了一些 test cases，貌似没有什么问题，若各位看官大神们有不同意见的欢迎留言，代码参见评论区十一楼。
Github 同步地址：
https://github.com/grandyang/leetcode/issues/660
参考资料：
https://leetcode.com/problems/remove-9/
https://leetcode.com/problems/remove-9/discuss/106561/One-Line-Java-Solution