昨天在博问里面看到的一道算法题，原题如下：
给出一个N(0<N<20)，在1~N的所有排列中，满足相邻两个数之和是素数的排列输出
比如当N = 4时，满足条件的素数环有如下几种
1 2 3 4
1 4 3 2
2 1 4 3
2 3 4 1
3 2 1 4
3 4 1 2
4 1 2 3
4 3 2 1
常规的做法是，找出这N个数的所有排列，然后依次检查每个排列，筛选出符合条件的排列即可。求排列可以用回溯法的排列树模型，筛选就按照题目要求即可，判断素数的算法也有很多，选择一个即可。注意不要忘记最后一个元素和第一个元素的检测。优化前的代码如下:
代码
2 bool IsPrime(int n)
3 {
4 for (int i = 2; i * i <= n; i++)
5 if(n % i == 0)
6 return false ;
7 return true ;
8 }
9
10 // Check a permutation
11 bool Check(int a[], int n)
12 {
13 if(!IsPrime(a[0] + a[n - 1]))
14 return false ;
15
16 for(int i = 0; i < n - 1; i++) // avoid duplicate
17 if(!IsPrime(a[i] + a[i + 1]))
18 return false ;
19
20 return true ;
21 }
22
23 void Perm(int a[], int n, int t)
24 {
25 if(t == n)
26 {
27 if(Check(a, n))
28 Output(a, n) ;
29 }
30 else
31 {
32 for(int k = t; k < n; k++)
33 {
34 swap(a[k], a[t]) ;
35 Perm(a, n, t + 1) ;
36 swap(a[k], a[t]) ;
37 }
38 }
39 }
题目不难，做完以后，我发现有很多可以优化的地方，可以大幅提高速度。
1. 首先，找出所有排列并逐个检查，这是很浪费时间的，更高效的方法是，一边排列一边检查，这样可以提早发现不满足条件的候选解，提早剪枝，避免不必要的搜索，例如当N=10时，排列到1234的时候，满足条件，下一次选择5，序列变为12345，由于4 + 5 = 9，非素数，所以后面不用再排列了，也就是从当前位置开始，以5为根的子树可以不用再搜索了，直接跳到6，序列变为12346，由于4 + 6 = 10，非素数，同样舍弃6为根的子树。下一次搜索变成12347，这回满足条件，继续排列下一个元素，如此直到10个元素全部排列完成。代码如下：a是储存排列的数组，n是元素个数，t用来控制递归过程。
2 {
3 if(t == n)
4 {
5 Output(a, n) ; // 找到一个解
6 }
7 else
8 {
9 for(int i = 1; i <= n; i++)
10 {
11 a[t] = i ;
12 if(IsOk(a)) // 检查当前值，满足条件才继续
13 PrimeCircle(a, n, t + 1) ;
14 }
15 }
16 }
2. 再看题目的输入范围，1 < N < 20，由于输入规模比较小，所以考虑使用查表法来判定素数，查表法是典型的以空间换时间的方法。20以内两个数之和最大是18 + 19 = 37，而37以内的素数分别是2， 3， 5， 7， 11， 13， 17， 19， 23， 29， 31， 37，我们可以定义一个38个元素的数组，以i为数组下标。当i为素数时，令a[i] = 1，否则a[i] = 0。这样，要判断一个数是否为素数时，直接判断a[i]是否为1即可。对应的数组如下：
2 {
3 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0,
4 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
5 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0,
6 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0,
7 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0,
8 0, 0, 1,
9 } ;
判断i是否为素数的代码也很简单
2 {
3 // do something
4 }
3. 再考虑输入的特点，如果输入N是奇数的话，由于起点从1开始，那么1-N之间一共有N / 2个偶数，N / 2 + 1个奇数，也就是奇数的个数比偶数多一个，那么把这N个数排成一个环，根据鸽巢原理，必然有两个奇数是相邻的，而两个奇数之和是偶数，偶数不是素数，所以我们得出结论，如果输入N是奇数的话，没有满足条件的排列。这样当N是奇数的时候，直接返回即可。如果1-N之间每个数输入的几率相同，这个判断可以减少一半的计算量。
2 return ;
3
4. 扩展一下第三点，可以发现，任何一个满足条件的排列都有一个共同点：相邻的两个数奇偶性必然不同，原因是：两个奇数之和或者两个偶数之和都是偶数，而偶数一定不是素数，所以在选取当前元素的时候，比较一下它和前一个元素的奇偶性。再做决定，可以减少一部分计算量。
由 于奇数 + 偶数 = 奇数, 而奇数的二进制表示中,最低位是1, 所以有下面的代码, 其中curValue是当前值, a[lastIndex]是前一个值.
2 return false ;
3
经过上面的优化，代码如下，应该会比原来快很多。还有什么地方可以优化么？欢迎讨论！
代码
2 using namespace std ;
3
4 // 小于37的所有素数
5 int prime[38] =
6 {
7 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0,
8 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
9 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0,
10 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0,
11 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0,
12 0, 0, 1,
13 } ;
14
15 // 输出一个解
16 void Output(int a[], int n)
17 {
18 for(int i = 0; i < n; i++)
19 cout << a[i] << " " ;
20 cout << endl ;
21 }
22
23 // 判断当前序列是否满足条件
24 bool IsOk(int a[], int lastIndex, int curValue)
25 {
26 if(lastIndex < 0) // 第一个元素没有前驱元素，返回真
27 return true ;
28
29 if(!((curValue + a[lastIndex]) & 1)) // 相邻的数奇偶性必然不同
30 return false ;
31
32 if(!prime[a[lastIndex] + curValue]) //相邻元素和为素数
33 return false ;
34
35 for(int i = 0; i <= lastIndex; i++) // 去重，curValue没有出现过
36 if(a[i] == curValue)
37 return false ;
38
39 return true ;
40 }
41
42 void PrimeCircle(int a[], int n, int t)
43 {
44 if(n & 1) // 奇数无解，直接返回
45 return ;
46
47 if(t == n)
48 {
49 if(prime[a[0] + a[n - 1]]); // 判断首尾元素
50 Output(a, n) ;
51 }
52 else
53 {
54 for(int i = 1; i <= n; i++)
55 {
56 a[t] = i ;
57 if(IsOk(a, t - 1, i)) //如果当前元素满足条件
58 PrimeCircle(a, n, t + 1) ; //进行下一次递归
59 }
60 }
61 }
62
63 int main(void)
64 {
65 int a[20] ;
66 const int n = 4 ; // 4个元素的排列
67 PrimeCircle(a, n, 0) ;
68
69 system("pause") ;
70 return 0 ;
71 }