DGP

DGP - 2. Discrete differential geometry

视屏地址：https://www.bilibili.com/video/BV1B54y1B7Uc

目标

为了获取三角网格表面近似的微分特性。

• 局部平均区域；
• 法向量；
• 梯度；
• 拉普拉斯算子；
• 离散曲率；

局部平均区域

人与人之间是存在安全距离的，在一个食堂，面对周围都是不熟悉的人，一般都会选择和别人不相邻的位置进餐。三角网格表面中的一个点，它的局部平均区域是怎么样的呢？

通常有三种表示方法：

• Barycentric cell：将顶点周围的三角面的重心坐标连接到一起；
• Voronoi cell：泰森多边形，又叫洛诺伊图，顶点周围线段的垂直平分线组成的区域；
• Mixed Voronoi cell：利用对边的中心点对Voronoi cell的修正，防止连接线超出周围三角形区域；

各自的面积计算如下：

Barycentric cell：其面积为周围三角形面积之和的三分之一；

Voronoi cell：三角形外切圆半径计算链接，根据外切圆半径可以计算得到周围区域的面积；

Mixed Voronoi cell：修正的区域面积为三角形面积的一般，非修正区域的面积计算和Voronoi cell一致。

法向量

三角形的法向量是很明确的，通过叉积就能够计算得到。但是一个顶点的法向量是怎么确定呢？通常是通过该顶点的one-ring邻域计算得到的，如下：

[n(v) = frac{sum_{Tin Omega (v)} alpha_T old{n}(T)}{||sum_{Tin Omega(v)}alpha_Told{n}(T)||_2} ]

其中，(T)为领域的三角形，(old{n}(T))为三角形的法向量，(alpha(T))为权重，权重的取值通常有：

• 常量，取值为1；
• 三角形面积；
• 三角形与该顶点关联的角度；

三角形内点的梯度

三角形内的点(x)可以用重心坐标，结合三角形的三个点(xi, xj, xk)进行表示：

[x = alpha x_i + eta x_j + gamma x_k ]

那么x点的梯度就可以写成：

[igtriangledown_x x = x_i igtriangledown_x alpha + x_j igtriangledown_x eta + x_k igtriangledown_x gamma ]

其中，(alpha)的计算，是三角形(xx_jx_k)的面积和三角形(x_ix_jx_k)的面积比，其中三角形(xx_jx_k)的面积的计算为(xx_j)向量在以(x_jx_k)为底的高的方向上的投影长度（即三角形的高），那么接着就可以通过(1/2底x高）计算三角形面积，具体如下：

[alpha = A_i / A_T \ = frac{left( (x-x_j)cdot frac{(x_k - x_j)^ot}{||x_k - x_j||_2} ight)||x_k-x_j||_2}{2A_T} \ = (x-x_j)cdot (x_k - x_j)^ot / 2A_T ]

对x求导得：

[igtriangledown_x alpha = frac{(x_k - x_j)^ot}{2A_T} ]

同理可以求得：(igtriangledown_x eta, igtriangledown_x gamma)

其中，((x_k - x_j)^ot)表示向量(vec{x_jx_k})逆时针旋转90度。

梯度公式如下：

[igtriangledown_x x = frac{(x_k - x_j)^ot}{2A_T} + frac{(x_j - x_i)^ot}{2A_T} + frac{(x_i - x_k)^ot}{2A_T} ]

拉普拉斯算子

关于拉普拉斯比较通俗的解释见：https://zhuanlan.zhihu.com/p/67336297

拉普拉斯算子实际上衡量了空间中的每一个点处，该函数梯度倾向于增加还是减少。

连续曲面上的拉普拉斯算子具有以下性质：NULL；对称性；局部性；线性性；最大值原理；半正定性。

？？？怎么理解，离散拉普拉斯算子包含了集合处理的完整的谱信息？？？

顶点上的离散拉普拉斯算子的公式有：

[(Lf)_i = sum_{jin Omega(i)}omega_{ij}(f_j - f_i) ]

满足以下性质：

• NULL：当f为常数的时候，结果为0；
• 对称性：(omega_{ij} = omega_{ji}), 暗示实对称矩阵，有实特征值和实特征向量；
• 局部性：ij不共边的时候(omega_{ij} = 0) ；
• 线性性：(sum_{j}omega_{ij}(f_i - f_j)=0) ;
• 正权重：(omega_{ij} > 0, i e j)

uniform Laplacian

当权重为1，或为(1/N_i)的时候，被称为uniform Laplacian。此时公式为：

[(Lf)_i = sum_{jin Omega(i)}(f_j - f_i) or \ (Lf)_i = frac{1}{N_i}sum_{jin Omega(i)}(f_j - f_i) ]

Cotangent Laplacian

散度在面上的积分，可以转换成梯度在线上的积分，（TODO：CHECK）具体如下：

[int_{A_i}Delta f dA = int_{A_i} div abla f dA = int_{part A_i} ( abla f) cdot vec{n} ds ]

结合图，可以更好的理解公式中的几个量的概念：

• (A_i)顶点i的邻域；
• (part A_i)，邻域(A_i)的边界；
• (vec{n})，边界上向外的法向量；
• (f)，mesh上定义的信号；

针对一个三角形的情况，ac乘以它的out法向量加上cb乘上它的out法向量，就是向量ca逆时针旋转90度，加上向量bc逆时针旋转90度，等于向量ba逆时针旋转90度，即：

[int_{part A_icap T} abla f cdot vec{n}ds = abla fcdot (a-b)^ot = frac{1}{2} abla f cdot (x_j - x_k)^ot ]

对于每个三角形而言，xi的梯度都是常数，如下：

[ abla f = (f_j - f_i) frac{(x_i - x_k)^ot}{2A_T} + (f_k - f_i)frac{(x_j-x_i)ot}{2A_T} ]

因此代入后可得：

[int_{part A_icap T} abla f cdot vec{n}ds = (f_j - f_i) frac{(x_i - x_k)^ot(x_j - x_k)^ot}{4A_T} + (f_k - f_i)frac{(x_j-x_i)^ot (x_j - x_k)^ot}{4A_T} ]

又因为：

[A_T = frac{1}{2}sin gamma_j ||x_j-x_i||||x_j-x_k|| \ = frac{1}{2}sin gamma_k ||x_i - x_k||||x_j - x_k|| \ cos gamma_j = frac{(x_j - x_i)cdot (x_j - x_k)}{||x_j - x_i||||x_j - x_k||} \ cos gamma_k = frac{(x_i - x_k)cdot (x_j - x_k)}{||x_i - x_k||||x_j - x_k||} ]

最后可得的：

[int_{A_i}Delta f dA = frac{1}{2}sum_{jinOmega(i)}(cot alpha_{ij} + cot eta_{ij})(f_j - f_i) ]

右边项除以面积后，可以得到离散化的Laplace-Beltrami算子，如下：

[Delta f(v_i) = frac{1}{2A_i}sum_{jinOmega(i)}(cot alpha_{ij} + cot eta_{ij})(f_j - f_i) ]

离散曲率

Laplace-Beltrami算子可以用平均离散曲率表示，如下：

[Delta x = -2Hvec{n} ]