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Prim算法
1.概览
普里姆算法(Prim算法),图论中的一种算法,可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中,不但包括了连通图里的所有顶点
2.算法简单描述
1).输入:一个加权连通图,其中顶点集合为V,边集合为E;
2).初始化:Vnew = {x},其中x为集合V中的任一节点(起始点),Enew = {},为空;
3).重复下列操作,直到Vnew = V:
a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>,其中u为集合Vnew中的元素,而v不在Vnew集合当中,并且v∈V(如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边,则可任意选取其中之一);
b.将v加入集合Vnew中,将<u, v>边加入集合Enew中;
4).输出:使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
下面对算法的图例描述
图例 | 说明 | 不可选 | 可选 | 已选(Vnew) |
---|---|---|---|---|
|
此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。 | - | - | - |
|
顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点,因此将A及对应边AD以高亮表示。 | C, G | A, B, E, F | D |
|
下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9,距A为7,E为15,F为6。因此,F距D或A最近,因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。 | C, G | B, E, F | A, D |
![]() |
算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。 | C | B, E, G | A, D, F |
|
在当前情况下,可以在C、E与G间进行选择。C距B为8,E距B为7,G距F为11。E最近,因此将顶点E与相应边BE高亮表示。 | 无 | C, E, G | A, D, F, B |
|
这里,可供选择的顶点只有C和G。C距E为5,G距E为9,故选取C,并与边EC一同高亮表示。 | 无 | C, G | A, D, F, B, E |
|
顶点G是唯一剩下的顶点,它距F为11,距E为9,E最近,故高亮表示G及相应边EG。 | 无 | G | A, D, F, B, E, C |
|
现在,所有顶点均已被选取,图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中,最小生成树的权值之和为39。 | 无 | 无 | A, D, F, B, E, C, G |
3.简单证明prim算法
反证法:假设prim生成的不是最小生成树
1).设prim生成的树为G0
2).假设存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0) 则在Gmin中存在<u,v>不属于G0
3).将<u,v>加入G0中可得一个环,且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈Gmin)
4).这与prim每次生成最短边矛盾
5).故假设不成立,命题得证.
Kruskal算法
1.概览
Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法,由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是,Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。
2.算法简单描述
1).记Graph中有v个顶点,e个边
2).新建图Graphnew,Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点,但没有边
3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序
4).循环:从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中
if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中
添加这条边到图Graphnew中
图例描述:
首先第一步,我们有一张图Graph,有若干点和边
将所有的边的长度排序,用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序,对局部最优的资源进行选择,排序完成后,我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图
在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5
依次类推我们找到了6,7,7,即DF,AB,BE。
下面继续选择, BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了(对于BC可以通过CE,EB来连接,类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连)。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了(这里上图的连通线用红色表示了)。
3.简单证明Kruskal算法
对图的顶点数n做归纳,证明Kruskal算法对任意n阶图适用。
归纳基础:
n=1,显然能够找到最小生成树。
归纳过程:
假设Kruskal算法对n≤k阶图适用,那么,在k+1阶图G中,我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作,即把u与v合为一个点v',把原来接在u和v的边都接到v'上去,这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边),G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。
我们证明T'+{<u,v>}是G的最小生成树。
用反证法,如果T'+{<u,v>}不是最小生成树,最小生成树是T,即W(T)<W(T'+{<u,v>})。显然T应该包含<u,v>,否则,可以用<u,v>加入到T中,形成一个环,删除环上原有的任意一条边,形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>},是G'的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T'),也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>}),产生了矛盾。于是假设不成立,T'+{<u,v>}是G的最小生成树,Kruskal算法对k+1阶图也适用。
由数学归纳法,Kruskal算法得证。
例题:HDU-还是畅通工程(http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1233)
Prim-邻接矩阵写法:
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; #define INF 0x3f3f3f3f const ll MAXN = 1e3 + 7; const ll MOD = 1e9 + 7; const double pi = acos(-1); int G[MAXN][MAXN]; //边的权值 int dist[MAXN]; //存放当前最小生成树到顶点最短边的权值 int vis[MAXN]; //是否被加入到最小生成树中 int n; void init() { for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= n; j++) G[i][j] = INF; } int Prim() { for (int i = 1; i <= n; i++) { dist[i] = INF; vis[i] = 0; } dist[1] = 0; for (int i = 0; i < n; i++) { int minn = INF; int p; for (int j = 1; j <= n; j++) if (!vis[j] && minn > dist[j]) { minn = dist[j]; p = j; } vis[p] = 1; for (int j = 1; j <= n; j++) if (!vis[j]) dist[j] = min(dist[j], G[p][j]); } int ans = 0; for (int i = 1; i <= n; i++) ans += dist[i]; return ans; } int main() { ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0); while (cin >> n && n) { init(); for (int i = 0; i < n * (n - 1) / 2; i++) { int x, y, len; cin >> x >> y >> len; G[x][y] = min(len, G[x][y]); G[y][x] = G[x][y]; } cout <<Prim()<<endl; } return 0; }
Kruskal:
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long ll; 4 typedef unsigned long long ull; 5 #define INF 0x3f3f3f3f 6 const ll MAXN = 1e5 + 7; 7 const ll MOD = 1e9 + 7; 8 const double pi = acos(-1); 9 int pre[MAXN]; 10 int n; 11 struct node 12 { 13 int u, v; 14 int len; 15 bool operator<(const node a) 16 { 17 return len<a.len; 18 } 19 } G[MAXN]; 20 void init() 21 { 22 for (int i = 1; i <= n; i++) 23 pre[i] = i; 24 } 25 int find(int x) //查找根结点 26 { 27 int r = x; 28 while (r != pre[r]) //寻找根结点 29 r = pre[r]; 30 int i = x, j; 31 while (pre[i] != r) //路径压缩 32 { 33 j = pre[i]; 34 pre[i] = r; 35 i = j; 36 } 37 return r; 38 } 39 int kruskal(int cnt) 40 { 41 init(); 42 int ans = 0; 43 for (int i = 1; i <= cnt; i++) 44 { 45 int fa = find(G[i].u); 46 int fb = find(G[i].v); 47 if (fa != fb) 48 { 49 pre[fa] = fb; 50 ans+=G[i].len; 51 } 52 } 53 return ans; 54 } 55 int main() 56 { 57 ios::sync_with_stdio(false); 58 cin.tie(0); 59 cout.tie(0); 60 while (cin >> n && n) 61 { 62 for (int i = 1; i <= n * (n - 1) / 2; i++) 63 cin >> G[i].u >> G[i].v >> G[i].len; 64 sort(G + 1, G + n * (n - 1) / 2 + 1); 65 cout << kruskal(n * (n - 1) / 2) << endl; 66 } 67 return 0; 68 }