博弈论--SG函数

定义：给定一个有向图，无出边的点的SG值定义为0，其他点的SG值定义为到不了的最小的自然数

具体问题：给定一个石子集合M，再给定一个可以取的数的集合N，求先手必胜还是必败。

 所以SG(10) > 0，所以先手必胜。

证明：

（1）最终失败态为0

（2）非零一定可以变成0

（3）0一定不能走到0

由SG函数定义可知上述性质皆正确，所以SG(x)>0，则意味着先手必胜

那么如果有多堆石子怎么办呢？

可以发现，这个和Nim游戏简直太像了。

在集合游戏中SG(x)=k，代表它可以走向{0,1...k-1}中的和状态

再Nim游戏中，一堆石子x也是可以可以走向小于x的任何状态的

所以解决方法也是类似的，直接将每个集合的SG函数异或起来，异或值等于res，如果大于0则是先手必胜，否则先手必败。

证明：

需要证明（1）终点态res=0

　　　　（2）非零态必然可以转移到0态

　　　　（3）0态不可能转移到0态

　　　　                                                      

#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<unordered_set>
#include<iostream>
using namespace std;
int n,m;
const int N=110,M=10010;
int s[N],f[M];
int sg(int x){
    if(f[x]!=-1){
        return f[x];
    }
    unordered_set<int> se;
    for(int i=0;i<m;i++){
        int sum=s[i];
        if(x>=sum)
            se.insert(sg(x-sum));
    }
    for(int i=0;;i++){
        if(!se.count(i)){
            return f[x]=i;
        }
    }
}
int main(void){
    cin>>m;
    for(int i=0;i<m;i++) cin>>s[i];
    memset(f,-1,sizeof(f));
    int res=0;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++){
        int t;
        cin>>t;
        res^=sg(t);
    }
    if(res){
        puts("Yes");
    }else{
        puts("No");
    }
    return 0;
}

 拆分Nim游戏

题目：https://www.acwing.com/problem/content/896/

游戏一定可以终止，因为最大值一直在减小。（严格证明可用数学归纳法--证明n的两个子状态可以终止即可）

终止态为全零。

定义  SG（终止）= 0

所以res=SG(a1)^SG(a2)^...^SG(an)

若res==0，则先手必败，否则先手必胜。

而SG(n)=mex(SG(i)^SG(j))    (i<x&&j<=i) ，必须j<=i，因为x=1时SG（x）！= 0

#include<unordered_set>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=110;
int f[N];
int sg(int x){
    if(f[x]!=-1) return f[x];
    unordered_set<int> S;
    for(int i=0;i<x;i++){
        for(int j=0;j<=i;j++){
            S.insert(sg(i)^sg(j));
        }
    }
    for(int i=0;;i++){
        if(!S.count(i)){
            return f[x]=i;
        }
    }
}
int main(void){
    memset(f,-1,sizeof(f));
    int n;
    cin>>n;
    int res=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        int x;
        cin>>x;
        res^=sg(x);
    }
    if(res) puts("Yes");
    else puts("No");
    return 0;
}