动态规划--完全背包

题目：https://www.acwing.com/problem/content/3/

完全背包相较于01背包区别在于每种物品的个数是无限的。

按照如上的分析，写出的代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N][N];
int main(void){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=m;j++){
            for(int k=0;k*v[i]<=j;k++){
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
            }
        }
    }
    cout<<f[n][m];
    return 0;
}

然后我们会发现，这样写最坏复杂度是O(N^3)，显然不够快。

发现可以利用之前列已经算出来的结果。 

f ( i , j ) = MAX ( f (i-1 , j) , f(i-1 , j-vi)+wi ,f(i-1 , j-2*vi)+2*wi , ......... , f ( i , j-k*vi)+k*wi )

f ( i,j-vi)= MAX ( 　　　　  f (i-1 , j-vi) ,     f(i-1 , j-2*vi)+wi  ,  ......... ,  f ( i , j-k*vi)+(k-1)*wi ) 

可以发现，计算 f (i , j) 时可以直接利用f(i , j-vi)的结果。

for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=0;j<=m;j++){
       if(j>=v[i]){
            f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
        }else{
            f[i][j]=f[i-1][j];
        }
    }
}

可以发现，这和01背包太像了，因为计算 f [ i ] [ j ] 只用到了上一层的结果。

所以同样的，这可以用滚动数组优化，或者直接优化成一维。

    //滚动数组
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=m;j++){
            if(j>=v[i]){
                f[i%2][j]=max(f[(i-1+2)%2][j],f[i%2][j-v[i]]+w[i]);
            }else{
                f[i%2][j]=f[(i-1+2)%2][j];
            }
        }
    }
    //一维优化
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=v[i];j<=m;j++){
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }